数学与群论中，乘法群指下列概念之一： 域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是 ( F ∖ { 0 } ,   ⋅ ) {\displaystyle (F\backslash \{0\},\ \cdot )} ，其中0指F的零元，二元运算 ⋅ {\displaystyle...

在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n...

x^{-1}} 。 在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。 汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都...

群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群 Z 帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。 群應用於很多數學領域中。數學物件的性质經常是通過将群關聯与数学对象关联，并研究相應的群的性質来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通過引入基本群...

\circ )} 為阿貝爾群或交換群，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。 群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。 乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。 驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群...

在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。 整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群...

在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。...

，和逆映射 G → G {\displaystyle G\rightarrow {}G} 满足群公理，从而具有群结构。 实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性 μ : G × G → G μ ( x , y ) = x y {\displaystyle...

在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 T = { z ∈ C : | z | = 1 } . {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.} 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。...

指定通过舍弃其他运算而获得的代数结构。比如整数加法群，基于向量空间的加法群以及基于环的加法群。这对于环和域来说特别有用，能用于区分加法群和具有乘法逆元的乘法群。  Bourbaki, N., §8.1 Rings, Algebra I: Chapters 1–3, Springer: 97, 1998...

酉群，又叫幺正群，是李群的一种。在群论中， n {\displaystyle n} 阶酉群（unitary group）是 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作 U ( n ) {\displaystyle {\text{U}}(n)}...

群。這是個n階循環群。 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群N，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群...

{\displaystyle R} -代數。乘法單位元素為 1 := e e {\displaystyle 1:=e_{e}} 。 最常用的是 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } 或 R = C {\displaystyle R=\mathbb {C} } 的群環。對於後者， C [...

其中+表示域或是向量空間的加法，0是域或是向量空間的加法單位元 标量乘法可以視為是向量空間的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的幾何詮釋是向量的拉長，方向可能會對調。 标量乘法中，V也可以是K，則标量乘法就變成域中的乘法。 若V是Kn，标量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘，需另外定義。 若K是交换环而V是K上的模，同樣的定義仍可以適用。...

自然數N是加法及乘法上的可交換幺半群。 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合 某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由幺半群。...

在数学中，一个矩阵群（matrix group）G 由某个域 K（通常为了方便是固定的）上可逆方块矩阵组成，群运算分别为矩阵乘法与矩阵乘法的逆运算。更一般地，我们可考虑一个交换环 R 上的 n × n 矩阵（矩阵的大小限制为有限，因为任何群可表示为任何域上一个无限矩阵群）。线性群（linear group）是同构于一个域...

\circ } ”作为一个群。简称 G {\displaystyle G} 是一个群。 设 A {\displaystyle A} 是一个非空集合， A {\displaystyle A} 的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为 A {\displaystyle A} 的一个变换群。 一个集 G {\displaystyle...

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } {\displaystyle \mathrm {O}...

在群論裡，四元群 Q 8 {\displaystyle Q_{8}} (Quaternion Group) 是指一個階為8的非交換群，常被簡寫為 Q {\displaystyle Q} ，且用乘法的形式表示。包含下列8個元素： Q = { 1 , i , j , k , − 1 , − i , −...

，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。 若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表： 这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。 克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：...

在抽象代數中，群同構（英語：group isomorphism）是在兩個群之間的函數，它在維持群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個群同構，則稱這兩個群同構。從群論的立場看，同構的群具有相同的結構和性質，因而不需要區分。 給定兩個群 ( G , ∗ ) {\displaystyle...

表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。 表示理論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如下： 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同，则這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。...

在代數學中，3x + 1半群是所有正有理數形成的乘法半群中一個特殊的子半群。這個半群生成集裡的元素和尚未解決的考拉茲猜想中涉及的數列有關。 3x + 1半群曾經被用以證明考拉茲猜想一個較弱的形式。事實上正是因為如此，H. Farkas才會在2005年提出這個概念。 3x + 1半群大部分的推廣形式都已被構造並研究過了。...

由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。 在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。 拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中单位分支（也就是包含单位的连通分支）是一个闭正规子群。 拓扑群G上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样...

性狀，指生物個體的型態。 在数学中： 特徵群，在群論裡，一個群G的特徵是指一個G→M的群同態，其中M是一個域的乘法群。M通常為複數域。若G是交換群，G所有特徵的集Ch(G)是一個群，稱為特徵群。狄利克雷特徵是其中一個特例。 特徵標理論，在群表示理論裡，一個群表示的特徵是指一個將群的元素映至相應的線性變換之跡數的類函數。...

在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} } ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群...

{\displaystyle x} 构成的整系数多项式及多项式加法形成了一个自由阿贝尔群， x {\displaystyle x} 的幂是其基。作为一个抽象群，这与正有理数乘法群相同（群同构）。要构建能展示两个群之间同构的映射，可以将有理数乘法群中的第 i {\displaystyle i} 个素数的指数重新诠释为多项式中...

{\displaystyle R} 的群到带有乘法的非零实数集 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 的群的群同態。核是 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 而像由正实数组成。 指数映射还产生从带有加法的复数集 C {\displaystyle C} 的群到带有乘法的非零复数集 C ∗...

群和有限自动机之间有自然的联系。 集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称有序对(S,·)为半群，运算·称为该半群的乘法。实际使用中，在上下文明确的情况下，可以简略叙述为“半群S”。 幺半群（独异点） 若S上的乘法...

在數學中，當一個群G的非空子集S包含了其所有元素的反元素時，此非空子集S被稱為對稱集。 例如，乘法群的非空子集S满足 S = S − 1 {\displaystyle S=S^{-1}} 其中 S − 1 = { x − 1 : x ∈ S } {\displaystyle S^{-1}=\{x^{-1}:x\in...

對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。 在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。 「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中：...