在数学领域中, 时滞微分方程, 或延时微分方程 (DDE) 是一类微分方程, 其中未知函数的在确定时刻的导数由先前时刻函数所决定. 对于 x ( t ) ∈ R n {\displaystyle x(t)\in R^{n}} , 时滞微分方程方程的一般形式是: d d t x ( t ) = f (...

若微分方程中沒有出現应变數及其微分項的乘積，此微分方程為線性微分方程，否則即為非線性微分方程。 齊次線性微分方程是線性微分方程中更細的分類，微分方程的解乘上一係數或是與另一個解相加後的結果仍為微分方程的解。 若線性微分方程的係數均為常數，則為常係數線性微分方程。常係數線性微分方程...

parameter system）不同於集總參數系統，是状态空间為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。 假設U、X和Y是希尔伯特空间，而 A {\displaystyle A\,}  ∈ L(X),...

a\approx 4} 的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。 不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。 定義 u 1 ( t ) = x ( t ) {\displaystyle u_{1}(t)=x(t)} 以及適當的时滞變數 x ( t − 1 ) ≈ u 3 ( t )...

curve），也可能是一群類似微分方程的解。 分岔（bifurcation）常出現在動態系統的數學研究中，是指系統參數（分岔參數）小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓扑结构的突然改變。分岔會出現在連續系統（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程來描述）或是離散系統中 （以映射來描述）。...

微分方程的区别是基于定义偏微分方程本身的算子的属性。 函數關係 F(,x_1,X_2..x_n,u,u_x1,u_x2..u_xn,u_x1x2,u_x1x3...)=0 是一個廣義的偏微分方程，如果 u，v 是此微分方程的兩個解，而（au+bv) 也是此微分方程的解，則此偏微分方程稱為線性偏微分方程，否則稱為非線性偏微分方程。...

在數學中，冪級數法用於求某些微分方程的冪級數解。 通常這樣的解假設一個具有未知係數的冪級數，然後將該解代入微分方程以找到係數的遞推關係。 考慮二階線性微分方程 a 2 ( z ) f ″ ( z ) + a 1 ( z ) f ′ ( z ) + a 0 ( z ) f ( z ) = 0. {\displaystyle...

隨機微分方程（英語：SDE, stochastic differential equation），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，...

_{+}} 下，下式都成立 在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。 以非時變常微分方程...

滞性大小的物理量。当液体、拟液体或拟固体物质受到外部剪切力作用时，发生形变与流动，分子间会产生内摩擦或流动内阻力，表征此相应的抗形变、抗流动特性的物理量，就是黏度。黏度的科学定义是力乘以时间除以面积。因此，其国际单位制为牛顿秒每平方米，或帕斯卡秒。 黏度也称动力黏度、黏（滞...

method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。 这里，所谓“微分方程...

待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。...

滞等，传感器同一个输入量对应的正、反行程的输出不一致，这一现象就是迟滞(hysteresis)。迟滞指标是正反行程相差最大的值。 常用拟合方法有：理论拟合、过零旋转拟合、端点拟合、端的平移拟合、最小二乘法拟合。 动态响应特性一般并不能直接给出其微分方程...

對于一維的動力學系統，參與鞍結點分岔的两個不動點中，一個為穩定不動點(穩定結點)，另一個為不穩定不動點(鞍點)。 鞍結點分岔一般與動力學系統中的磁滯現象及爆發災難現象相關。 一個典型鞍結點分岔的微分方程的例子如下： d x d t = r + x 2 . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}...

時所產生的各種力。空氣動力學與氣體動力學常常混用，但後者研究的氣體不局限於空氣。 空氣動力學為流體力學在工程上的應用力學，特別討論在馬赫數大於0.3的流場情形。 空氣動力學因為討論的狀況接近真實流體，考慮了真實流體的黏滯...

parameters），也称为常数變換法，是求解非齐次线性常微分方程的一种通用方法。 对于一阶非齐次线性微分方程，通常可以通过积分因子或待定系数以相当少的努力找到解，尽管这些方法利用涉及猜测的启发式方法并且不适用于所有非齐次线性微分方程。 参数的变化也扩展到线性偏微分方程，特别是线性演化方程的非齐次问题，如热方程、波动方程和振动板方程。...

會結束，每一次的擺動振幅都和之前一樣，這種理想情形稱為無阻尼。 若系統的損耗很大，例如彈簧質量系統放置在黏滯的液體中，系統會慢慢的回到初始位置，甚至不會過沖，這稱為過阻尼。 一般而言，在擺動時會出現過沖，再往另一邊擺動，再回來，在擺動過程中，系統消耗了一些能量，而擺動振幅也會越來越小，最後回到初始位置，這稱為欠阻尼。...

微分方程的解。 x n + 1 = k x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=kx_{n}(1-x_{n})} 是混沌理论的一个模型。这个函数对初始值和参数的变化很敏感，往往微小的变化会引起混沌。如图所示，当x1=0.3，参数k从0.1变到4时，系统变化很大。...

實際上，前述的這兩個定理可推出說實數所有的指數變體構成一個實數上的最小o結構（o-minimal structure）。 指數多項式也出現在線性時滯微分方程的特徵方程中。 C. J. Moreno, The zeros of exponential polynomials, Compositio Mathematica...

連續系統一般會用微分方程來表示。若微分方程是線性常係數，可以將微分方程取拉普拉斯轉換，將其輸入和輸出之間的關係用傳遞函數表示。若微分方程為非線性，已找到其解，可以將非線性方程在此解附近進行線性化。若所得的線性化微分方程是常係數的，也可以用拉普拉斯轉換得到傳遞函數。对...

矩阵和数据操纵工具，包括对稀疏矩阵的处理 支持复数、任意精度数、区间算术和符号运算 2维和3维数据以及函数的可视化和动画工具 求解方程组、常微分方程、偏微分方程、微分代数方程、时滞微分方程、递推关系式等等 离散和连续微积分的数值和符号工具 多变量统计程序库，包括支持100多种数据分布的数据拟合、假设检验、概率和期望的运算...

要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。 P {\displaystyle \mathbb...

一組描述流體運動的方程式，其中描述流體粒子動量的變化（力）只和流體外部的壓強及流體內部的黏滯力（類似摩擦力）有關。因此纳维-斯托克斯方程描述流體內任一區域內的力平衡。 纳维-斯托克斯方程是描述流體運動的微分方程。這樣的方程描述一些物理量的變化率和其他物理量之間的關係，例如針對一個沒有黏度的理想流體，...

簡易的諧振子，相圖是一組中心點在原點的椭圆。 范德波爾振蕩器的相圖（右圖） 分枝圖（英语：Bifurcation diagram） 曼德博集合 相圖可以呈現微分方程（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性 ODE系統相圖上的特性也可以用系統的特徵值或跡（trace）以及行列式判別（跡 = λ1 + λ2，行列式...

单流体是磁流体力学的基础模型，其基本方程组有16个标量方程，包含16个未知标量，因此是完备的。更复杂的双流体模型含有更多方程和未知标量。结合边界条件可以求解这些偏微分方程组。 在磁流体力学中，等离子体可以看作是良导体，电磁场变化的特征时间远远大于粒子碰撞的时间，电磁场可以认为是准静态的，因此麦克斯韦方程组中的位移电流项可以忽略，写为：...

状态空间表示法即為一種將物理系統表示為一組輸入、輸出及狀態的數學模式，而輸入、輸出及狀態之間的關係可用許多一階微分方程來描述。 為了使數學模式不受輸入、輸出及狀態的個數所影響，輸入、輸出及狀態都會以向量的形式表示，而微分方程（若是線性非時變系統，可將微分方程轉變為代數方程）則會以矩陣的形式來表示。...

abs(H(s)) 表示增益，而用 -atan(H(s)) 表示相位滞后惯例的影响。传递函数的其他定义还有例如 1 / p L ( i k ) {\displaystyle 1/p_{L}(ik)} 。 设普通线性非时变系统的输入为 x ( t )   {\displaystyle x(t)\...

原始方程组（Primitive Equations）是非线性的微分方程組，可以模拟地球上的大气流動，許多的大气模型都用到原始方程组。原始方程组主要由三组平衡方程构成： 连续性方程：描述质量守恒。 动量守恒：用纳维-斯托克斯方程描述地球表面流体动力流动。其假设是垂直方向上的运动远小于水平方向的运动，且流体层的深度小于球半径...

之后，由于数字计算机的高速发展，取代了作为模拟计算机（最后剩下的）的强度和响应时间等优点。 线性机械部件（如弹簧和缓冲器（粘滞流体阻尼器））和电气部件（如电容器，电感器和电阻器）之间的相似性在数学上引人注目。它们可以使用相同形式的方程来建模。...

以數學的觀點來看，纳维－斯托克斯方程是一個針對任意維度向量場的非線性偏微分方程。在物理及工程的觀點，纳维－斯托克斯方程是一個用连续介质力学描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以牛頓第二運動定律為基礎，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的体积力。...

{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}}.\,} 大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示，Q因子中2π的係數，使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的電感及電容中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和...