在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨...

积分第二中值定理 夹挤定理 卷积定理 极值定理 基尔霍夫定理 角平分线定理 嘉当-迪厄多内定理 吉洪诺夫定理 柯西定理 克莱尼不动点定理 康托尔定理 柯西中值定理 可靠性定理 克莱姆法则 柯西-利普希茨定理 戡根定理 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 凯莱-哈密顿定理 克纳斯特-塔斯基定理 卡迈克尔定理 柯西积分定理...

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（英語：Residue theorem），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。 假设 U {\displaystyle U} 是复平面上的一个单连通开子集， a 1 , ⋯ , a...

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数...

定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。 该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。...

針對常微分方程的初值問題，皮亚诺存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。 針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem）可以判別解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。...

利普希茨的数学研究涉及数论、贝塞尔函数论、傅里叶级数论、常微分方程、分析力学、位势理论及黎曼微分几何，其中在微分方程和微分几何方面尤为突出。1873年他对柯西提出的微分方程初值问题解的存在惟一性定理作出改进，提出著名的“利普希茨条件”。存在性定理的证明有力地推进了对微分方程定性理论以及解的近似计算的研究。...

斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理...

theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes'...

在研究运动和面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺便給出了好幾個著名的悖論例子。微积分提供了工具，特别是极限和无穷级数，以解决该些悖论。 微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研...

的解（关于最大解的存在性和唯一性，参见柯西-利普希茨定理）。 庞加莱-本迪克松定理的一个重要推论是二维平面上的动力系统不能产生奇异吸引子，如果系统内存在一个奇异吸引子，那么它可以在相空间内被一个有界封闭的区域包住。当这个包围的区域足够小的时候，区域里面将不会有任何稳定点。但根据庞加莱-本迪克松定理，这个区域里的 C...

斯托尔兹－切萨罗定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 令 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}...

R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的一个区间。函数f是从U×I映射到E中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数f在U中满足利普希茨条件，也就是说， ∃ κ > 0 ,   ∀ t ∈ I ,   ∀ x , y ∈ U ,   | f ( x , t )...

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线  L {\displaystyle...

L-\epsilon \leqslant {\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leqslant L+\epsilon } 而根据柯西中值定理（逆定理），对任意的 a − η ⩽ x ⩽ a + η , x ≠ a {\displaystyle a-\eta \leqslant x\leqslant...

积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。 格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。 格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。 格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在19...

\end{aligned}}} 用柯西积分定理也可以得到结果。 量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。 费曼－卡茨公式 传播子，费恩曼传播子使用复平面的曲线积分...

古爾丁定理（英語：Guldinus theorem），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·古爾丁（英语：Paul Guldin）又重新發現了這個定理。 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積 A {\displaystyle A} ，等於曲線的長度...

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中间值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性： 假設 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } 為一連續函數。若一實數 u {\displaystyle...

利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。 此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。 較早期證明皮卡-林德勒夫定理...

夾擠定理（英語：squeeze theorem），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 設 I {\displaystyle I} 為包含某點 a...

{\displaystyle F(x)+C} 也是 f {\displaystyle f} 的不定积分。 微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独立发现。微积分基本定理将积分与微分建立联系，通过找出一个函数的原函数，即可方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数...

xx'+yy'=0.\,} 在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理： 给定以下形式的微分方程： I ( x , y ) d x + J ( x , y...

）。一般會將導數早期的發展歸功於伊萨克·巴罗，不過牛頓和莱布尼茨仍在微分學的歷史上有重要的貢獻，其中也包括了牛頓將微分用在理论物理学中，而莱布尼茨發展的符號到現今仍在普遍使用。 自從17世紀起，許多數學家都對微分学有所貢獻。在19世紀時，在奧古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（182...

原點的小鄰域，映到 p {\displaystyle p} 在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切丛處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。 本節可參考Kobayashi & Nomizu (1975，§III...

{\displaystyle f(x+h)-f(x)} 比任何事先给定的量都小”。 然后波尔查诺在证明中值定理时用 ϵ {\displaystyle \epsilon } 来表示所谓“事先给定的量”。 六年以后，柯西在1823年也给了一个定义，但此定义还不如波尔查诺前面给出的定义清楚： “…… f ( x +...

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若 z = x + iy，并且 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} ， 那么 f(z) 是解析函数的充要条件是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且满足下列柯西-黎曼方程：...

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续； 在开区间...

分部積分法又稱作部分積分法（英語：Integration by parts），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假設 h ( x )   {\displaystyle h(x)\ } 與 k...

{\displaystyle u} 满足 (H1) ，且单从它并不能推出拉格朗日函数的奇异性。方程 (H2) 是一个常微分方程组，而常微分方程解的存在性和唯一性的柯西-利普希茨定理意味着 (H2) 在原则上是可以求解的。直接积分并不会直接得到积分常数，而是会给出首次积分，因此这一步一般来说在实践上很难完成。在某些良好的状况下，...

F 在接近该点时的表现的重要資訊。例如，如果连续可微函数 F 在 p 点的Jacobi行列式不等於零，那么它在该点附近有 F 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果  p 点的Jacobi行列式是正数，则 F 在 p 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 F 逆轉定向（reverses...