这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。 更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。 每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵为2，那么1...

数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。 广义特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式为1的元素构成的子群。 度量的符号（p、q分别为正...

正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。 有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群，即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群...

保持一个模的非退化二次型。有子群特殊正交群 SOn(R)，以及商群射影正交群 POn(R) 与射影特殊正交群。在特征为 2 时，行列式总是 1，故特殊正交群常定义为 Dickson 不变量为 1 的元素。 有一个没有名字的群，经常记为 Ωn(R)，由所有 Spinor 模为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为...

Sp(2n)=U(n)} 。 就像正交群有子群特殊正交群与商群射影正交群 PO ( n ) {\displaystyle {\text{PO}}(n)} ，以及子商群射影特殊正交群；酉群也有关联的特殊酉群 SU ( n ) {\displaystyle {\text{SU}}(n)} ，射影酉群 PU ( n )...

群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。 从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。 确定形式的 Pin 群是到正交群的满射，每个分支都是单连通的：它是正交群的二重覆叠。正定二次型...

p-进数上定义p-进数李群，一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。 李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。 一维情况下唯二的连通李群是实直线 R {\displaystyle \mathbb {R} } （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群...

数学中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列： 1 → Z 2 → Spin ⁡ ( n ) → SO ⁡ ( n ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to...

R)的極大緊子群是正交群 O(n)，而GL+(n, R)的極大緊子群是特殊正交群 SO(n)。至於SO(n)，群GL+(n, R)不是單連通的（除了 n=1的時候），然而有基本群，它對 n=2同構於 Z 或者對 n>2同構於 Z2。 在複數集上的一般線性群GL(n,C)是複數維 n2的複數李群。作為實數李群...

群的基本例子包括 圓群 T 和環面群 Tn， 正交群 O(n)，特殊正交群 SO(n) 和它的覆蓋旋量群 Spin(n)， 酉群 U(n) 和特殊酉群 SU(n)， 辛群 Sp(n)， 例外李群的緊緻形式: G2, F4, E6, E7 和 E8， 所有有限群(帶有離散拓撲)。 緊李群...

群，則稱此物件為對掌的（也因此不存在使其不變的反轉定位之等距同構。) 任何其元素有著相同個不動點的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個正交群O(n)的子群，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。 離散對稱群可以分成三種類型： 有限點群...

R=\pm 1} 。行列式為1的正交矩陣組成的子群稱為特殊正交子群，記作SO(3)。 因此所有旋轉可以由一個具有單位行列式的正交矩陣唯一表示。更多地，因為旋轉的複合與矩陣乘法相對應，所以三維旋轉群與特殊正交群SO(3)同構。 瑕旋轉對應行列式為-1的正交矩陣，它們不構成一個群，因為兩個瑕旋轉的複合是一個正規旋轉（因為其行列式為1）。...

群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。可以用于矩阵计算。...

更複雜的對稱產生於三維之中，詳見三維點群。 在任何維數d裡，所有可能的定點等距同構之連續群為正交群，標記為O(d)；且其所有可能的旋轉之連續子群為特殊正交群，標記為SO(d)。這並不是向夫立符號（英语：Schoenflies notation），而是從李群理論中生出的習慣標記。 晶體學 晶體點群 壁紙群（英语：Wallpaper...

粗略地说，典型群就是特殊线性群、正交群、辛群和酉群。更细致地说，其实还包括它们的换位子群和中心商群（即一个群对其中心的商群）。其中后者即为所谓的射影线性群，而这种群可以在有限域（或者任何其他域）上构造，方法与在实数域上构造的方式大致相同。这样构造出来的群对应谢瓦莱群和斯坦伯格群中的 An , Bn...

舒尔正交关系（英語：Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。 令 Γ ( λ ) ( R ) m n {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda...

subgroup）。因為這個緣由，勞侖茲群有時也稱作「齊次勞侖茲群」（homogeneous Lorentz group），而龐加萊群被稱作「非齊次勞侖茲群」（inhomogeneous Lorentz group）。勞侖茲變換是線性變換的例子；閔可夫斯基時空中的廣義等距同構變換為仿射變換。 數學中，勞侖茲群可以描述為廣義正交群O(1...

数学中，一个拓扑群 G 的极大紧子群 K 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。 一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。 一个好例子是正交群 O(2)，是一般线性群 GL(2...

圓群因此會同構於特殊正交群SO(2)。此處有著一個單位複數之乘法的幾何解釋，即為複數平面上的旋轉，並且任何旋轉都可表達成這種形式。 任何大於0之維度的緊緻李群G都會有一個會同構於圓群的子群。這是指以對稱的觀點來思考，一「連續」作用的緊緻對稱群可以被表示成有一作用著的單參數圓子群...

Ex 的所有标准正交标架集合。Ex 的一个标准正交标架是 Ex 的一个有序标准正交基，或等价地，一个等距线性同构 p : R k → E x {\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}} 这里 Rk 配有标准欧几里得度量。正交群 O(k)...

在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 半單李群、半單李代數和半單線性代數群等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。...

{\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )} ，即 S p ( 2 n , R ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )} 。 正交群 酉群 射影酉群 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號 哈密顿力学...

群，或者說關于原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一個同構給出為f(a + Z) = exp（2πia，參見歐拉恒等式）。 如果G是可逆的3 × 3實數矩陣的群，而N是帶有行列式為1的3 × 3實數矩陣的子群，那么N在G中是正規子群...

. {\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).} 为了完整性，还有正交与辛子群： S U ( n ) ⊃ O ( n ) {\displaystyle SU(n)\supset O(n)} S U ( 2 n ) ⊃ U S...

n {\displaystyle 0\leq k<n} ， h = 0 , 1 {\displaystyle h=0,1\,} 。 二面體群也可以詮釋為二維正交群 O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} 中由 σ := ( cos ⁡ 2 π n − sin ⁡ 2 π n sin...

正交晶系，也叫斜方晶系。 该晶系特点是没有高次对称轴，二次对称轴和对称面总和不少于三个。晶体以这三个互相垂直的二次轴或对称面法线为结晶轴。α=β=γ=90o；a≠b≠c。非均质性强，具有三个不同的主折射率。 晶體結構 又名向夫立符號 The 32 crystal classes. [2009-07-08]...

数学上的单群（英語：Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。...

在數學中，考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中，二面體群與正多胞體的對稱群都是例子；此外，根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。 所謂考克斯特群，是一個群 W {\displaystyle W}...

在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} } ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群...

{\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)} 。 阿贝尔群G的中心即为其自身G。 正交群 O ( n ) {\displaystyle O\left(n\right)} 的中心是 { I , − I } {\displaystyle...

交乐墓群是位于贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁县的汉朝墓葬群。1999年，兴仁交乐汉墓群被列为贵州省级文物保护单位。2006年5月25日，成为第六批全国重点文物保护单位。 汉墓群总面积9平方公里，分布在交乐河两岸台地之上，大抵属东汉墓葬。1975年至1987年间，进行了3次考古发掘，出土文物六百多件...