整數分解（英語：integer factorization）又称整数因式分解、整数因子分解，或整数因子化，在数论中，“整数的因数分解”是指在可能的情况下，将一个正整数分解为更小整数的乘积，即寫成幾個因數的乘積。若进一步限制因数为质数，则这个过程称为质因数分解（英語：prime...

（包括1本身）都是互質。只有一個質因子的正整數為質數。 将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是： 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 3 ×...

奇數的質因數中都沒有2 平方數的質因數的冪數都是偶數 立方數的質因數的冪數都是三的倍數 下表列出了1至5000的質因數分解。 註：若數本身是質數時，因數以粗體顯示。 因數分解 高斯素因子表 質因數 What is the prime factorization of 45. mathwarehouse...

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓...

高斯整數分解表又稱高斯質因數表是一種數學用表，類似於素因子表，表中紀錄了高斯整數的高斯整數分解。 高斯整數可以是零、四個複數單位元素（±1和±i）之一、高斯質數或高斯合數。在高斯整數分解表中，高斯整數x + iy後面跟著的是其高斯整數分解或標標記該數為高斯質數。 高斯整數分解的形式則以複數單位元素乘以若干個高斯質數的整數冪。...

亏数，真因數和為137，虧度為4046 不尋常數，大於平方根的質因數為89。 半素数。 无平方数因数的数。 十进制的等數位數。 4184 合数，正因數有1、2、4、8、523、1046、2092和4184。 質因數分解， 2 3 × 523 {\displaystyle 2^{3}\times 523}...

高合成數：任何比此數小的自然數，其因數數目均比這個數的因數數目少。 奇數和偶數：除以2餘1的自然數，以及除以2會整除的自然數。 素数：其正因數只有1和自身的自然數。 素因子：本身是素数的因數。 素因子表：條列自然數的素因數。 素数公式：只產生素數的公式。 整数分解：以質因數的乘積來表示自然數。 RSA破譯競賽（英语：RSA...

325是一個在324和326之間的自然數。 合數，正因數有1、5、13、25、65和325。 質因數分解為 5 2 × 13 {\displaystyle 5^{2}\times 13} 。 虧數，真因數和為109，虧度為216。 十进制的奢侈數。 325是最小的能寫成3組2個平方數之和的數。 325...

3^{x_{2}}\cdot 5^{x_{3}}\cdot ...\cdot {p_{n}}^{x_{n}}} 依据算术基本定理，用这种方式获得的任何数都可以唯一的因数分解到素因子，所以可以有效的从其哥德尔数恢复最初的序列。 哥德尔特别的在两个级别使用这个方案: 首先编码表示公式的序列，其次编码表示证明的序列。这允许他...

Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766  維基教科書中的相關電子教程：小学数学/质数与合数 質數 質因數 最小公倍數 最大公因數 整数分解 埃拉托斯特尼筛法 素因子表...

{O}}_{F}} 中的“素数”。正整数6，作为 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 中的元素，它的素因数分解有两种方式： 6 = 2 × 3 = ( 1 + − 5 ) × ( 1 − − 5 ) . {\displaystyle 6=2\times 3=\left(1+{\sqrt...

256是255与257之间的自然数。 合數，正因數有1、2、4、8、16、32、64、128和256。 質因數分解為 2 8 {\displaystyle 2^{8}} 。 虧數，真因數和為255，虧度為1。 第16個平方數，為16的平方。前一個為225、下一個為289。 第4個十进制的節儉數。前一個為243、下一個為343。...

最小的12个費馬數为： 其中前八个来源于（OEIS數列A000215）。 質因數個數顏色： 紅色：2個因數；綠色：3個因數；粉色：4個因數；藍色：5個因數；橘色：6個因數；紫色：7個因數(含以上)； 只有最小的12个費馬數被人们完全分解了，目前最小不確定質性的費馬數是 F 33 {\displaystyle F_{33}}...

許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義...

1024=4^{5}} 1024 = 32 2 {\displaystyle 1024=32^{2}} 合數，正因數有1、2、4、8、16、32、64、128、256、512和1024。 質因數分解為 2 10 {\displaystyle 2^{10}} 。 虧數，真因數和為1023，虧度為1。...

的奇数去简单的试除，则需要 n 2 {\displaystyle {{\sqrt {n}} \over 2}} 次。这意味着，如果n有大小接近的素因數（例如公钥密码学中用到的），试除法是不太可能实行的。但是，当n有至少一个小因數，试除法可以很快找到这个小因數。值得注意的是，对于随机的n，2是其因...

mod 4 ) {\displaystyle 23\equiv 3{\pmod {4}}} 因此无法分解成两个平方和形式。 现在对于所有正整数 N {\displaystyle N} ，有其唯一的素因数分解形式： N = 2 k ( p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p m α m ) ( q 1 β...

而计算乘率的方法就是大衍求一术。秦九韶完整地叙述了“大衍求一术”，其实质是辗转相除法的应用。于是，针对同余模数两两互素的情况，秦九韶得到了系统的解法，在模数不是两两同余时，需要将定数修正（剔除公因数）以应用大衍求一术。由于没有素因数分解的概念，秦九韶用了一些技巧来修正定数以使用大衍求一术。...

109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801…（ A002648） 坎寧安的書《二元因数分解》（Binomial Factorisation）曾對它們進行研究。 36608603 - 33304302 + 1. PrimePages. [2024-07-17]...

\subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z} } 。 設正整數 n {\displaystyle n} 的素因數分解為 n = ∏ p p n p {\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}} ，則有 ℓ Z ( Z / n Z )...

假设我们试图分解合数n .我们选择一个边界B , 并确定B对应的因数基底（我们将称为P ），即小于等于B的所有素数的集合。接下来，我们搜索正整数z使得z和z+n都是B平滑的—即它们的所有素因子都在P中。因此有： z = ∏ p i ∈ P p i a i {\displaystyle...

factorization method）中查找平方差的方法基本相同。 欧拉因式分解法最大的缺点是这样的：要分解的整数，它的质因数分解中，如果有任何一个 4k+3 型的質數是奇数次幂的，那么欧拉的方法就不能分解了。原因是，这样的数字不可能是两数的平方和。4k+1 型的奇合数也经常是两个 4k+3 型質數的积（例如...

265是264與266之間的自然數。 合數，正因數有1、5、53和265。 質因數分解為 5 × 53 {\displaystyle 5\times 53} 。 虧數，真因數和為59，虧度為206。 不尋常數，大於平方根的質因數為53。 第85個半質數。前一個為262、下一個為267。 無平方數因數的數。...

数，那么它们的最大公约数是1，也即这两个数互素。辗转相除法的优点就在於它能以有系統的方式求出兩數的最大公约数，而無需分別對它們作因式分解。大数的素因数分解被認為是一個困難的問題，即使是现代的计算机也非常难於處理，所以许多加密系统的原理都是建基於此。 在数学中，尤其是抽象代数的环论中，最大公约数有一个更加巧妙的定义：...

56和636（OEIS數列A165519）。 負二為立方體下闭集合中欧拉示性数的最小值。 負二的擁有的因數若負因數也列入計算則與二的因數（含負因數）相同，為-2、-1、1、2。根據定義一般不對負數進行質因數分解，雖然能將 − 1 {\displaystyle -1} 提出來計為 − 1 × 2 {\displaystyle...

N的第三大素因子必须大于100。 N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。 如果对于所有的i，都有 e i {\displaystyle e_{i}} ≤ 2，那么： N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。 α ≡ 1（mod...

101 = 204 {\displaystyle {{{{1}+{101}}+{1}}+{101}}=204} 。 古戈爾 已知的古戈爾普勒克斯+n的素因數（0≤n≤999）: http://www.alpertron.com.ar/GOOGOL.HTM （页面存档备份，存于互联网档案馆） 另一個古戈爾普勒克斯網頁：http://www...

也是勾股数。若果 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。 以下的方法可用来找出素勾股数。设 m > n {\displaystyle m>n} 、 m {\displaystyle m} 和 n...

重复知道第一个计数器到达零来实现。余数可以通过它在偶数或奇数次尝试后结束来确定。 同上，一个计数器用做暂存器。另一个真实计数器持有一个整数，它的素因数分解是 2a3b5c7d。指数 a, b, c 和 d 可被看作要被模拟的四个虚拟计数器。如果真实计数器被置零接着增加一次，则等价于把所有寄存器都置零。如果真实计数器被双倍，则等价于增加...

\mapsto N\equiv p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}...} 是这组正交基到正整数的双射，后者由因数分解的唯一性保证。因此，系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中，这种标记方法被称为哥德尔编号。 现在假设单粒子态的能量满足： ϵ i =...

（OEIS數列A246655）、（OEIS數列A000961）（有1的數列） 質數冪是只有一個質因數的整數。質數冪和類似的概念也稱為準素（primary numbers），例如準素分解。 質數冪是質數的自乘積。每一個質數冪（2的冪次除外）都有一個原根，因此整數模的整数模n乘法群pn是循環群。...