在拓撲學和數學的相關領域裡，連續函數是指在拓撲空間之間的一種態射。直觀上來說，其為一個函數f，其中每一群在f(x)附近的點都會含有在x附近的一群點之值。對一個一般的拓撲空間來說，這是指f(x)的鄰域總會包含著x之鄰域的值。 在一個度量空間(如實數)裡，這是指在f(x)一定距離內的點總會包含著在x某些距離內的所有點。...

在數學裡，拓撲學（英語：Topology）也可寫成拓樸學，或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·...

F(x)可以指： 函数，數學名詞 周期函数 单射 連續函數 (拓撲學) 常數函數 f(x) (組合)，韓國女子組合...

\{f(x_{n})\}} 是一个柯西序列。连续函数将收敛序列变成柯西序列。 閉集關於連續函數的原像為閉集 開集關於連續函數的原像為開集 緊緻集透過連續函數的像是緊緻集 連通集透過連續函數的像是連通集 如上连续函数的定义可以自然地推广到一个拓扑空间到另一拓扑空间的函数：对拓扑空间 X {\displaystyle...

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述...

在數學裡，拓撲空間範疇（通常標記為Top）是一個範疇，其物件為拓撲空間，態射為連續函數。拓撲空間範疇符合範疇的公理，因為兩個連續函數的複合函數依然是連續的。研究拓撲空間範疇及運用範疇論的技術來研究拓撲空間的性質之類的學科稱為「範疇拓撲學（categorical topology）」。...

這裡列出的是在數學領域中的一分支拓撲學所常使用的一些術語。在拓撲學的許多子類中，術語上的使用差異並不是很大，這裡主要針對一般拓撲學（或稱點集拓撲）來編寫。這些術語也是其它學門如代數拓扑、微分拓扑和幾何拓扑中的基本術語。 關於一些基本的定義，請參閱拓扑空間的條目，關於拓撲學的簡史，請參閱拓撲學。關於集合以及函數...

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。 給定兩個拓撲空間 X {\displaystyle X\,\!} 和 Y {\displaystyle Y\,\!} 。考慮兩個連續函數 f , g : X → Y {\displaystyle...

數學中的環圈（loop）是拓扑空间X上的连续函数f，其定義域為单位区间I = [0,1]，而且f(0) = f(1)。換句話說，環圈是拓扑學中，起點和終點相同的道路（path）。 環圈也可以視為是從點標空間（英语：Pointed space）單位圓S1映射到X的連續映射f，因為S1可以視為是I商空间under...

在拓扑学的相关领域中，拓撲基(base 或 basis) 是一群子集，可以由它們的任意并集構成一個拓扑結構。基在拓扑学的作用在於許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。 拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，若 F ⊆ P ( X...

處處不連續函數是一數學名詞，是指在其定義域上的每一點都不連續的函數。若f(x)為一函數，定義域和值域都是實數，若針對每一個x，都存在ε > 0 ，使得針對每一個δ > 0，都可以找到y，使下式成立，則f(x)為處處不連續函數： 0< |x − y| < δ 且|f(x) − f(y)| ≥ ε...

在数学中，拓扑空间 X 中一条道路（path）是从单位区间 I = [0,1] 到 X 的一个连续函数 f f : I → X. 道路的起点是 f(0)，终点是 f(1)。通常说从 x 到 y 的一条道路，这里 x 与 y 是道路的起点与终点。注意，一条道路不仅是 X 中看起来像一条曲线的子集，它也包含了参数化。例如，映射...

在拓撲學與相關數學領域裡，導出拓撲（英語：induced topology，或译诱导拓扑）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。 導出拓撲的定義如下： 令 X0、X1 為集合， f : X 0 → X 1 {\displaystyle f:X_{0}\to...

在數學的拓撲學中，開映射是兩個拓撲空間之間的映射，使得任何開集的像都是開集；閉映射是兩個拓撲空間之間的映射，使得任何閉集的像都是閉集。所以f: X → Y是開映射（閉映射），如果X中的開集（閉集）在f下的像都為Y的開集（閉集）。 開映射和閉映射的定義中，並不要求映射連續。與之比較，映射f: X →...

。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。 拓撲學上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間X, Y之間的一個連續單射f: X→Y是一個拓撲嵌入，如果f給出X與f(X)間的同胚（空間f(X)上的拓撲是由Y誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲...

拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。 拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。 希爾伯特空間及巴拿赫空間是典型的例子。 一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K （通常取實數或複數域）上的向量空間，其上帶有拓撲結構使得向量加法...

在拓扑学中，同胚（英語：Homeomorphism）是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。 拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延...

在泛函分析中，对于包括如上向量空间上的拓扑的连续线性变换也是同样的，很多主要例子是具拓撲結構的函数空间；最周知的例子包括希尔伯特空间和巴拿赫空间。 在泛函分析，从自然数到某个集合X的所有函数集合叫做序列空间。它由X的元素的所有可能序列的集合构成。 在拓扑学中，可以尝试在从拓扑空间X到另一个拓扑空间Y的连续函数的空间上放置一个拓...

数学中，非交换拓扑是用于拓扑学与C*-代数概念之间关系的术语。非交换拓扑起源于盖尔范德–奈马克定理，指出局部紧豪斯多夫空间的范畴同交换C*-代数范畴之间的对偶性。非交换拓扑与解析非交换几何有关。 非交换拓扑背后是前提是，非交换C*-代数可以像非交换空间上的复值连续函数...

拓撲學中，長直線，或稱亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。 閉長射線L定義為第一不可數序數ω1與半開區間[0...

在拓扑学中，带有密着拓扑（trivial topology）的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间（indiscrete space），它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上，这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。 密着拓...

在拓扑学及相关的数学領域中，连通空间是指不能表示为两个或多个不相交的非空开集的并集的拓扑空间。 拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立： X不能表示为两个分離的非空开集的并集。 ∀A⊆X，A≠X或∅，A-∩(X-A)-≠∅。 一个拓扑空间被称为是不连通的，若它不是连通的。 连通性是拓...

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间（Hausdorff space, separated space or T2 space）是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性...

数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。 對於度量空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 內的任一點 x {\displaystyle...

在数学领域拓扑学中，一致性质或一致不变性是一致空间的在一致同构下不变的性质。 因为出现的一致空间是拓扑空间而一致同构是同胚，所有一致空间的所有拓扑性质都是一致性质。本文关心不是拓扑性质的一致性质。 分离。一致空间X是分离的，如果所有周围的交集等于X×X中的对角。这实际上就是拓扑性质，并等价于底层拓...

在数学中，布勞威爾不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾（荷蘭語：L. E. J. Brouwer）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数 f {\displaystyle...

單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的。 考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。...

{\displaystyle y} 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函数，則無需限制原函數的定義域。 點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。 設拓撲空間 A {\displaystyle A} 的子集 X ,   Y {\displaystyle X,\ Y}...

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。 这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。 乌雷松引理说明， X {\displaystyle X} 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要...

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。 數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：Locally Compact Hausdorff）的首字母簡稱為LCH空間。 設 X {\displaystyle...

在拓撲學和數學的相關領域裡，網（英語：Net）是序列的廣義化，用來統一極限不同的概念和將其廣義至任意的拓撲空間。網的極限對一般拓撲空間扮演的角色，就好比序列的極限之於第一可數空間（例如度量空間）。 一個序列通常以為全序集合的自然數做為索引。網廣義化了此一概念，以把索引集合上的次序关系削弱成有向集合。...