在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英語：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle...

黎曼－斯蒂尔杰斯积分（英語：Riemann-Stieltjes integral）是數學中的一種「積分」概念，是對黎曼积分的推廣。 黎曼－斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。 和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定義依賴對區間分割的定義。 一个闭区间 [ a , b ]...

黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂爾吉斯积分 數值積分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目，无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说，路径积分是多元函数的积分，积分区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。...

1866年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裡。他在第三次去意大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映射定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼曲面中。 黎曼积分 黎曼猜想 黎曼張量 《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》...

在实分析或数学分析中，达布积分（英語：Darboux integral）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。...

积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限。勒贝格积分所構造出的容易计算的面积与黎曼积分所構造的不同，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无理数时函數值为0，输入值为有理数时函數值为1的狄利克雷函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。...

在数学中，亨斯托克-考兹维尔积分（英語：Henstock–Kurzweil integral，也称为卢津积分、 佩龙积分，有时为了和广义当茹瓦积分区别而称为当茹瓦积分）是黎曼积分的一种推广，有些情况下比勒贝格积分更加宽泛。 亨斯托克-考兹维尔积分最早是由二十世纪初法国数学家阿尔诺·当茹瓦（英语：Arnaud...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

在数学中，线积分（英語：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分...

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。 高斯-博内定理：紧致二維黎曼流形上高斯曲率的积分等於 2 π χ ( M ) {\displaystyle 2\pi \chi (M)} ，這裡的...

在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼...

积分就定义为延展的函数在矩形区域中的积分（如果存在的话）。 下文中n维黎曼积分简称多重积分。 多重积分具有很多与单变量函数的积分一样的性质（线性，可加性，单调性，等等）。而且，和单变量情况一样，可以用多重积分找出函数在给定集合上的积分。具体来讲，给定集合D ⊆...

黎曼泽塔函數 ，写作ζ(s) 的定義如下： 設一複數 s 使得 Re(s) > 1，則定義： ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} 它亦可以用积分定义： ζ...

复分析中的柯西-黎曼微分方程（英語：Cauchy–Riemann equations），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。...

在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一...

數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。 藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗运动。從 0 {\displaystyle...

黎曼猜想（英語：Riemann hypothesis，RH）由德国數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為： 黎曼ζ函數， ζ ( s ) = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s...

\int _{0}^{2}} 亦变为 ∫ 1 5 {\displaystyle \int _{1}^{5}} ，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。 ∵ d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x ∴...

隨機積分是對包含隨機函數的積分，常見形式為 Y t = ∫ 0 t H s d X s {\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}} 一如黎曼－斯蒂尔杰斯积分，以上表示對函數 H s {\displaystyle H_{s}} 在函數 X s {\displaystyle...

g\,dx\right)\,dx} 。 这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续的时才有效。 在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。 提示：部分積分下面這樣更複雜一點的積分運算裡也是有效的： ∫ u v d w = u v w − ∫ u w d v − ∫ v w d...

{\pi }{2}}} 这个积分不是绝对收敛的，因此勒貝格積分甚至不能定义这个积分，但它在黎曼积分或Henstock–Kurzweil积分是有定义的。 可以通过多种方式导出这个（黎曼或Henstock）积分的值。例如，该值可以通过计算双反常积分确定，也可以通过在积分符号内取微分来确定。...

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（英語：Improper integral ），是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮...

积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。 若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f (...

数学上，曲面积分，也称为面积分（英語：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。...

积分符号内取微分（英語：Leibniz integral rule，莱布尼茨积分法则）是一个在数学的微积分领域中很有用的运算。它是说，给定如下积分 F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t {\displaystyle...

一些很不“规则”的函数，尽管在“非常多”的点上并不连续，但仍有原函数。 在某些情况下，一些不“规则”的函数的不定积分可以通过黎曼积分求得。当然更多的不“规则”的函数不是黎曼可积的。 在以下公式中， C {\displaystyle C} 為任意常數。 ∫ a d x = a x + C {\displaystyle...

之一，由函数图像上的点为矩形的左上角、右上角或顶边中点来决定。 当 n 逐渐扩大时，此近似值更加准确。矩形法的计算本质上是与黎曼积分的定义相吻合的。上述的 i ′ {\displaystyle i'} 无论取哪个值，最终和式的值都将趋近于定积分的值。 i ′ = i − 1 2 {\displaystyle i'=i-{\frac {1}{2}}}...

由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫   ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +...

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x...

他还撰写了《微积分学教程》，全书共分为三卷，第一卷包括实数理论、实变数一元与多元微分学及其应用；第二卷研究黎曼积分理论与级数理论；第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、黎曼－斯蒂尔杰斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。其介绍有深度而精确，被誉为数学分析经典著作，被翻译为德语、汉语和波斯语，但英语翻译尚未完成。...

lw。如图，一个长方形的长是5米，宽是4米，那么面积为20平方米，因为5 × 4 = 20。 在微积分中，黎曼积分可以被看成是无穷多任意小的长方形面积的和的極限。 有一角是直角的平行四边形是矩形。 矩形拥有所有平行四边形的性质，因为它是平行四边形的一種 矩形对角线相等...