在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} 為參數決定，寫作 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，定義為 ( 1 + x ) n {\displaystyle...

系数（英語：coefficient）在数学中是指在某个表达式中作为某个对象的乘法因数的常数。比如说，9x2中的系数是9。 拥有系数的对象可以各种各样，比如说变量、函数、向量或者矩阵。有的时候系数似乎没有对象，比如说堅尼係數，实际上是因为对应的对象过于生僻而没有列出。在某些情况下，系数会被标上上标或下标，以示区分，如下式中：...

( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（Child's binomial theorem）或「中學生的二項式定理」（Schoolboy binomial theorem）。 至於「Freshman's...

a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}\quad } 的二项式 a + b 的 nth 次幂可以用二项式定理或者等价的杨辉三角形展开。 配方法 二項分佈 二項式係數 因数与二项式主题列表（英语：List of factorial and binomial topics）包括大量相关的链接。...

帕斯卡（Pascal），抑或帕斯卡爾，可能指： 帕斯卡 (單位)，壓力的SI制單位。 帕斯卡三角形，二項式係數在三角形中的一種幾何排列。 帕斯卡法則，組合數學上的一個關於二項式係數的恆等式。 帕斯卡定理，數學中射影幾何的一個重要定理。 帕斯卡的賭注 帕斯卡定律，關於液壓的物理定律。 布萊茲·帕斯卡，法國數學家、物理學家、宗教哲學家。...

高斯二项式系数 (也称作 高斯系数, 高斯多项式, 或 q-二项式系数)在数学里是指二项式系数的q-模拟。 高斯二项式系数被定义为： ( m r ) q = { ( 1 − q m ) ( 1 − q m − 1 ) ⋯ ( 1 − q m − r + 1 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2...

{K}{k}}} 表示在 K {\displaystyle K} 个样本中，抽出 k {\displaystyle k} 個的方法數目，即组合数，又稱二項式係數。剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有 N − K {\displaystyle N-K} 个，剩下的抽法便有 ( N − K n − k )...

其中，他在数学方面产生的深远影响是他引进的用于二項式係數的符号 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，该符号为(x+1)n利用二项式定理展开后，单项xk的二项式系数，同时，该符号可以更一般的表示，一个n个元素集合中有k个元素子集的个数。...

ax^{b}y^{c}} 中的系数 a {\displaystyle a} 被称为二项式系数，记作 ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} 或 ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} （二者值相等）。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。...

在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。 楊輝三角形可以用二項式係數來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算： L ( r , c ) = 1 r × ( r − 1 c − 1 ) {\displaystyle L(r,c)={\frac...

Β-二项式分布，或称贝塔-二项式分布，是概率论与统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处，在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率，但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为过度散布的二项式分布，Β-二项式分布在贝叶斯统计、经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。...

8, 15, 26, 42, 64, 93, … 三維的蛋糕數類似於二維的順序，連續蛋糕數的之間差異也給出了順序。 如果n！表示階乘，我們表示成二項式係數： ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! , {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n...

N} 的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。 术语“负二项式”可能是因为出现在分布的概率质量函数公式中的某个二项式系数可以用负数更简单地写出。 若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为 p {\displaystyle...

{n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}} 。 這是馮哈伯公式的一個特例，可以用數學歸納法來證明。 四角錐數也可以表示成二項式係數的和： P n = ( n + 2 3 ) + ( n + 1 3 ) {\displaystyle P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1}...

帕斯卡法則是組合數學上的一個關於二項式係數的恆等式。它說明對於正整數 n {\displaystyle n} , k {\displaystyle k} （ k ≤ n {\displaystyle k\leq n} ）， ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) = ( n k...

係數是二項式係數 ( p k ) = p ! k ! ( p − k ) ! {\displaystyle {p \choose k}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}} ，k大於0，所以可以被p除盡。 對多項式f(x)取模p，也就是把它的係數映射到有限體 Z / p...

{\displaystyle q\rightarrow 1} 时就得到一般的阶乘公式。 根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数: ( n k ) q = [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! . {\displaystyle...

{n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}} 其中系数为二项式系数。 因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合： x m _ x n _ = ∑ k = 0 m ( m k...

3 , ⋯ , ( 2 a − 1 ) {\displaystyle 0,1,2,3,\cdots ,(2^{a}-1)} 中的某一數。 考慮二項式係數 ( p n ) = p ! n ! ( p − n ) ! {\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n...

在数论中，盧卡斯定理（英語：Lucas's theorem）用于计算二项式系数 ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} 被质数 p {\displaystyle p} 除的所得的余数。 卢卡斯定理首次出现在1878年法國數學家爱德华·卢卡斯的论文中。 对于非负整数...

{\displaystyle 1,3,3,1,0,0,0,\ldots } 。 一般而言， n {\displaystyle n} 維環面的貝蒂數由二項式係數給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維複射影空間 P ∞ {\displaystyle \mathbb...

(mathematician)）提供了關於排列數與組合的公式，甚至可能早在6世紀的印度數學家就對這些公式熟悉 。西元1140年哲學家與天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性，而二項式係數公式則是由猶太人數學家吉尔松尼德在西元1321年得到。楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文，在中國則首現於13世紀南宋楊輝《詳解九...

1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。 詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明： k {\displaystyle k} 個大於 k {\displaystyle k}...

_{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}} （中心二項式係數的母函數） ∑ k = 0 ∞ ( 2 k + α k ) z k = 1 1 − 4 z ( 1 − 1 − 4 z 2 z ) α , | z...

高德納將《具體數學》一書（第一版）作為AMS Euler字型與Concrete Roman字型的實驗。 遞迴關係 求和的計算 整數函數 數論 二項式係數 特殊數列/特殊數 生成函數 離散機率 漸近記號 1st edition: September 1988 (ISBN 0-201-14236-8):...

k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)} 是二項式係數，其中的 ( x ) k {\displaystyle (x)_{k}} 是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為 x k _ {\displaystyle...

( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} 。 除了以上的二項式系數和，以下這些基本的組合恆等式也可以用算兩次的辦法來論證（但對不同的讀者來說不一定是最簡單的辦法）： ( n k ) = ( n n − k ) {\displaystyle...

（页面存档备份，存于互联网档案馆）。這樣分類的類別數目是否有上限是個未解決問題。 埃尔德什-塞爾弗里奇函數g(k) = 最小而又大於k+1的整數使得二項式係數C(g(k),k)的最小質因數大於k。對於k=1,2,...，g(k) = 3, 6, 7, 7, 23, 62, 143, 44, 159, 46...

k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}} 在此 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 是二項式係數而 d 0 = 3 G 4 {\displaystyle d_{0}=3G_{4}} 、 d 1 = 5 G 6 {\displaystyle d_{1}=5G_{6}}...

n {\displaystyle \,n\,} 个不同元素中选出含 k {\displaystyle \,k\,} 个元素的子集的方法数量等于二项式系数 ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k...

{1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},} 其中(m + 1 k) 為二項式係數。 舉例說，把m取為1，我們有 1 + 2 + . . . + n = 1 2 ( B 0 n 2 + 2 B 1 + n 1 ) = 1 2 (...