在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型...

几何中，庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model），也叫共形圆盘模型（conformal disk model），是一个 n-维双曲几何模型。几何中的点對應到 n 维圆盘（或球）上的點，几何中的「直线」（准确地说是测地线）對應到任意垂直于圆盘边界的圓弧或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱...

庞加莱度量），因此表示有可能在H和D之間轉換。 上半平面在双曲几何中有重要的地位，庞加莱半平面模型提供一種檢驗雙曲運動（英语：hyperbolic motion）的方式。龐加萊度量提供此空間下的雙曲度量张量。 曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率為負常數之空間的萬有覆疊空間。 閉上半平面（closed...

数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型...

莱-克莱因模型中连接它们的直线是它们之间的弦，但在对应的庞加莱圆盘模型中是位于两个边界点向量生成的二维子空间中过这两个点的一条正交于圆盘边界的圆弧。这两个模型通过从圆盘的中心的出发一个投影联系起来；由中心出发过一个模型中的一条直线上一点的一条射线经过另一个模型中的对应直线上的对应点。 庞加莱半平面模型...

在直角坐標中，二元一次不等式所表示的範圍就是半平面。 在平面幾何中，一個平角（180度）所夾出的區域無限延伸後即是半平面。 兩個平面相交可切割出四個半平面。 半平面可以視為二維空間中射線在三維空間的類比。 《中學數學實用辭典》P.299 ISBN 957-603-093-5 九章出版 上半平面 庞加莱半平面模型...

通过开单位圆盘上引入一个新度量（庞加莱度量），开单位圆盘常常作为双曲平面的一个模型。利用如上提到的开单位圆盘与上半平面的共形映射，这个模型可转换成双曲平面的庞加莱半平面模型。庞加莱圆盘与庞加莱半平面都是双曲空间的共形模型，即模型中的角度与双曲空间中的角度相同，从而保持了小图形的形状（但不保持尺寸）。 双曲平面的另一个模型...

(黑線)在龐加萊半平面模型上 一個正七邊形鑲嵌 (藍線)在雙曲拋物面的龐加萊圓盤模型上 正七邊形鑲嵌在拓扑上与一系列用施萊夫利符號{n,3}與{7,n}表示的（广义）多面体一直延伸到双曲镶嵌： 當n大於2時，所有{7,n}都是双曲镶嵌： 正七邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列与之相关的半...

geometry） 球面幾何學 Sphere-world（英语：Sphere-world） 球面三角學 双曲几何 雙曲空間 双曲面模型 庞加莱圆盘模型 庞加莱半平面模型 庞加莱度量 Angle of parallelism（英语：Angle of parallelism） 本原測地線（英语：Prime...

平面中，面積最大的三角形。 雙曲三角形邊與角的關係與球面三角形類似，例如：球面幾何和雙曲幾何中，長度尺度都可以利用具有固定角度的等邊三角形邊長來定義。 若將長度以絕對長度（一種特殊的長度單位，類似於球面幾何中的距離之間的關係）來定義，能使不少雙曲三角形的公式更為簡化。 在龐加萊半平面模型中，絕對長度對應於無窮小的度量...

对于一个几何和它的群，群的一个元素有时叫做该几何的一个作用。例如，可以通过基于双曲运动的一个发展来学习双曲几何的庞加莱半平面模型。 经常，两个或者更多的不同的几何有同构的自同构群。这就产生了从爱尔兰根纲领的抽象群解读出具体的几何的问题。...

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设 H {\displaystyle \mathbb {H} } 为上半平面， Γ {\displaystyle \Gamma } 为福克斯群，...

平面上由一系列線段首尾連接起來的封閉圖形，在雙曲面無限邊形的邊在無窮遠處首尾相接並在雙曲面上形成一個封閉的區域。有時外接圓為超圓形的無限邊形因具有發散鏡射形式無法像一般的無限邊形在無窮遠處首尾相接，因此又稱偽多邊形。 正無限邊形的邊會合於雙曲面面上的無窮遠處（龐加萊模型的圓周上）在施萊...

是庞加莱度量下两点 z 1 , z 2 {\displaystyle z_{1},z_{2}} 的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理本质上就是说单位圆盘到自身的全纯映射会减小各点之间的庞加莱距离。若以上两不等式有一式的等号成立（就是说这个全纯映射保持庞加莱...

{\mbox{)}}.\,} 这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL2(ℝ) 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。 这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。 群 SL2(ℝ) 通过共轭作用在它的李代数...

圓極限III 正方形鑲嵌 如同球面的地球的地形要在平面上需要地圖投影，而此處使用的龐加萊雙曲投影就如同地圖投影的方位投影。 此處的平移應視為超平移，即雙曲平面上的平移。 可以視為改變投影的點，有如改變地圖投影方位投影的投影地點，或是將整個幾何圖形在雙曲平面上平移。 就如同地圖投影，投影中心附近幾乎不會被扭曲。...

平面上，但可以在一個雙曲拋物面上構造，另外亦有四階無限邊形鑲嵌和五階無限邊形鑲嵌等雙曲面幾何體。 每個正無限邊形面都內接在一個半徑為無限大的羅氏圓，即極限圓，它看起來像是一個內切於龐加萊圓盤模型投影邊界的圓。 就如同三階六邊形鑲嵌，每一個三階無限邊形鑲嵌都有三種半正表面塗色，皆屬於不同的反射三角群域：...

八角化六階正方形鑲嵌的結構是不可能存在於平面上的，由於在歐氏幾何中過六邊形重心內分割出來三角形應為30-60-90的直角三角形，然而在此結構中60度角又可以做為正方形的內角，因此此結構在歐氏幾何中得到矛盾無法存在，只能存在於羅氏幾何中。 在艾雪的《圓極限 IV（天堂和地獄）》作品用了此種鑲嵌將蝙蝠與天使畫在龐加萊圓盤模型...

狭义相对论发现史讲述的是狭义相对论从草創到逐渐确立的过程。在其发展过程中，包括了阿尔伯特·迈克耳孙、洛伦兹、庞加莱等前辈研究及證明出的許多理論，这些成果在爱因斯坦提出狭义相对论时达到了顶峰。此外，还包括了普朗克和闵可夫斯基等人的后续工作。 尽管牛顿在理论中假设空间和时间都是绝对并且独立于参考系的，...

點皆由兩個正七邊形與兩個正三角形構成。在施萊夫利符號中用r{7,3}表示；此外其邊緣形成一個無限排列的雙曲面直線，此性質與截半正六邊形鑲嵌相似。 截半正七邊形鑲嵌無法在一個平面上構造，因為每個頂點的角度 128 4 7 ∘ × 2 + 60 ∘ × 2 = 377 1 7 ∘ {\displaystyle...

{\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )} 为复平面上的射影特殊线性群。 双曲几何 勞侖茲群 共形几何 庞加莱半平面模型 射影几何 （英文）Mobius Transformation and the Extended Complex Plane...

二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面，稱為二階偽多邊形鑲嵌。 偽多面體（pseudohedron）是偽多邊形在三維空間的類比，即在三維非緊雙曲空間中的無限面體，又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌，由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中，即幾何中心跑到龐加萊模型外，其外接球為三維雙曲極限球。...

前一种情形下，哈德曼–格罗布曼定理给出了存在连续函数的条件，其将映射的定点邻域映射为线性映射J · x，因此是结构稳定的。向量场的微小变化只会导致庞加莱映射的微小变化，将反映在J的特征值在复平面的微小位置变化上，意味着庞加莱映射仍是双曲的。 KAM理论给出了椭点附近的行为。 演化映射Φt（或由其导出的向量场）取决于参数μ时，相空间结...

的離散子群。模群是在 PSL(2,R) 中的格，但它不是馀緊緻的。 克萊因群通過定義是雙曲3-空間的等距同構群的離散子群。這包括準-富克斯群。 定向保持和作用在雙曲 3-空間的上半面模型上的克萊因群是李群 PSL(2,C) 的離散子群，它是雙曲 3-空間的上半面模型的定向保持等距同構的群。 在李群中的格是使得商群的哈爾測度為有限的離散子群。...

\,} 最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。 一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（Fuchsian model）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（deck...

萊夫利符號中用{5,4}表示。四階五邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個五邊形的公共頂點，頂點周圍包含了四個不重疊的五邊形，一個正五邊形內角為108度，四個五邊形超過了360度，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出。 四階五邊形鑲嵌在雙色半正表面塗色時，也可以稱為截半...

交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含地作为复流形使用。从几何方面考虑，拉格朗日力学和哈密尔顿力学的本质也是流形理论。 庞加莱研究了三维流形，并在1904年提出著名的庞加莱猜想：所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个猜想已於2006年被俄國數學家格裡戈里·佩雷爾曼解决。...

下的基本不變量。投影幾何可利用仿射平面（或仿射空間）加上在無窮遠的一條線（超平面）進行建模，並將此線（或超平面）視為「一般」。以解析幾何風格做出投影幾何的代數模型，會用到齊次坐標。另一方面，公理化的研究亦揭露了非笛沙格平面的存在，可用來證明關聯公理可由不能透過齊次坐標系統推導之結構（只在二維上）建模。...

模型，有科学史学者认为沃森和克里克提出的DNA双螺旋结构模型就是受到了鲍林的影响，而鲍林之所以没有提出双螺旋，是因为他在1950年代受到美国麦卡锡主义的影响，错过了一次在英国举行的学术会议，没有能够看到一副重要的DNA晶体衍射图谱。 1951年鲍林结合他在血红蛋白进行的实验研究，以及对肽链和肽平面...

在幾何學中，五階正方形鑲嵌是由正方形組成的雙曲正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用{4,5}表示，代表了每個頂點皆為五個正方形的公共頂點，因此每個頂點周圍皆包含了五個不重疊的正方形，一個正方形內角90度，五個正方形超過了360度，因此無法因此無法在平面上作出，但可以在雙曲面上作出，或是以扭歪多面體的方式呈現。...

龐加萊認為 v 最少必須是光速的 24 · 1017 倍。現在有了 Sv 和 v 的最小容許值，和 S 的最大容許值，就可以算出產生的熱，它正比於 Sρv3。該計算表明地球的溫度將每秒上升 1026 度。龐加萊因此注意到“地球不能長期忍受這樣的轄制”。龐加萊也分析了一些波模型...