在数学中，集合M上的一个n-维微分结构（differential structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。...

微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子，并且可以在f定义域内的一个区间[a...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是...

微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。...

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。 對給定的兩個微分流形 M , N {\displaystyle M,N} ，若對光滑映射 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} ，存在光滑映射...

结构指在一个系統或者材料之中，互相关联的元素的排列、组织。 结构还可以指： 建築 建築物 建築結構 結構 (化學) 结构 (机械) 数学结构 结构 (计算机语言) 结构 (数理逻辑) 微分结构 哲學 結構主義 “結構”開頭的其他條目 “结构”开头的其他条目（简体中文）...

复流形可以视为微分流形的一种特例。例如，一个1维复流形几何上就是一个曲面，称为黎曼曲面。变换函数必须全纯这个要求意味着和通常的微分流形不同，不同的Ck-微分结构对于不同k没有区别，因为全纯函数解析，一次每个全纯结构也是一个Ck结构，对于任意k ≥1成立。 复流形的理论和实流形的有相当不同的感受，因为複解析函数比光滑函数更为严格...

图形在数学上可以依靠不同的附加结构而形成不同的门类，按附加结构的复杂程度，可以依次分述如下： 集合结构→点集拓扑（若附加离散集合则形成离散几何） 代数结构→组合拓扑（若附加分维结构则形成分形几何） 度量结构→度量几何（若附加第五公设则分化为欧氏和非欧氏几何） 微分结构→微分几何（若附加对易结构则分化为对易和非对易几何）...

在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个 G-结构是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。 G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个...

可微分编程是一种编程范型，在其中数值计算程序始终可通过自动微分来求导数。这允许了对程序中的参数的基于梯度优化（英语：Gradient method），通常通过梯度下降。可微分编程广泛用于各种领域，特别是科学计算和人工智能。 多数可微分编程框架是通过构造包含程序中的控制流和数据结构的图来进行工作的。各种尝试一般可归入两组之中：...

微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的分解为标准嵌入子空间 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 的陪集...

_{x\in M}T_{x}(M).} 總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间Tx(M)內的一枚向量。 切丛有自然的2n维微分流形结构如下： 設： π : T ( M ) → M {\displaystyle \pi \colon T(M)\to M\,} 為自然的投影映射，将(x...

图册也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个卡上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。 这是微分流形的标准定义方式。如果图册的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。 通常，流形的结构...

map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。 阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。 有三个相互联系但又有区别的定义： 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。...

Donaldson，1957年8月20日—），英国数学家，研究领域为四维微分流形的几何与拓扑。利用从规范场论发展出来的技术手段，尤其是对椭圆偏微分方程的创造性应用，他于80年代找到了四维流形的系列不变量，进而发现特定的四维流形容许无穷多个微分结构，“震惊了数学界”（Atiyah，1986）。...

這是微分几何主題列表： 曲線話題列表（英语：List of curves topics） 弗莱纳公式 曲线的微分几何 線素（英语：Line element） 曲率 曲率半徑（英语：Radius of curvature (mathematics)） 密切圓（英语：Osculating circle）...

数学中，复微分形式是（复）流形上具有复系数的微分形式。 复形式在微分几何中有广泛的应用，在复流形上是十分基本的，是代数几何、凯勒几何、霍奇理论的基础；在非复流形上，也在殆复结构、旋子理论和CR结构的研究中发挥作用。 一般来说，之所以考虑复形式是因为它允许一些理想的分解。例如，复流形上任何复k形式都可唯一分解为所谓...

在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（英語：atlas）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（英語：chart）给出（也称为坐标卡，coordinate chart，或局部坐标系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。...

光滑流形（英語：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分...

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 φ 拉回，经常记作 φ*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由...

1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： 代数拓扑学（伦移等问题） 几何拓扑学（此分支中的庞加莱猜想已被佩雷尔曼于2003年成功证明） 微分拓扑学研究可微分结构等等 这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。...

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴...

认为参与形成「螺旋」，而不論它是否真正的存在对应氫鍵。其他稍微不准确的定義多是應用曲線微分幾何的觀念，如曲率及扭量。也有一些結構生物學家以肉眼观察通过软件显示的蛋白质结构來決定其二級結構。 對生物大分子的二級結構含量可以以光譜來初步估計。對於蛋白質，最常用的方法是圓二色性(Circular dichroism)...

刘维尔定理指出，一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个微分域的函数加上有限项该域上函数的对数的线性组合，否则即表明不存在初等的原函数。 一个域 F {\displaystyle F} （元素是函数）及相应的运算 δ {\displaystyle \delta } （对函数的导数）构成的代数结构 ( F , δ ) {\displaystyle...

結構化程式設計（英語：Structured programming），一種編程典範。它採用子程序、块结构、for迴圈以及while迴圈等結構，來取代傳統的 goto。希望藉此來改善计算机程序的明晰性、品質以及開發時間，並且避免寫出麵條式代碼。 結構化程式設計在1960年代開始發展，科拉多·伯姆（英语：Corrado...

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。 一個 n {\displaystyle n}...

在數學的拓撲學中，偽阿諾索夫（Аносов）映射是曲面的一種同胚或微分同胚，是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞，也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。 一個閉曲面S上的測度葉狀結構，是S上的一個幾何結構，包含一個奇異葉狀結構...

李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。...

在数学上，微分几何的结构嘉当联络（Cartan connection）是联络概念的一个推广，由Élie Cartan提出。该方法的一些应用请参见活动标架法，嘉当联络的应用和爱因斯坦-嘉当理论。 它由埃里·嘉当提出，作为他的活动标架法的一部分（和一种表述方法）。它可作用于微分...

(1983)证明了唐纳森定理，限制了紧单连通4-流形的第二上同调群上可能的二次型。从定理可以导出，存在异R4，光滑h-配边定理在4维失效。因此，唐纳森理论的结果依赖于有微分结构的流形，对大部分拓扑4-流形不成立。 唐纳森理论中的许多定理现在都可用塞伯格-威滕理论更轻松地证明，不过仍留有一些未解决问题，如威滕猜想、阿蒂亚–弗洛尔猜想等。...

延长方法应该在回旋系统中中止(这是解析理论，而不是光滑理论，并导向形式化可积性理论和Spencer上同调)； 等效性问题，如他所说，是通过把结构的图像变成微分系统的积分流形来建立它们的微分同胚(并由此发现不变量)； 活动标架法，不但和主丛和它们的联络有关，也需要使用和几何相适应的标架； 现在，埃雷斯曼的jet丛方法被用于把切触作为系统化的等价关系。...