的转置矩阵。 任何一个正规矩阵，都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换後变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换後变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。...

\\2-i&1\end{bmatrix}}} 就是一个埃尔米特矩阵。 显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。 对于矩阵 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in...

对于所有i和j。 例如，以下矩阵便是斜厄米矩阵： [ i 2 + i − 2 + i 3 i ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}} 斜厄米矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步，斜厄米矩阵都是正规矩阵。因此它们可对角化，它们不同的特征向量一定是正交。...

即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。 一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵。单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。 分别计算乘积A*A 与 AA*的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足A*A=AA*，其中...

正交矩阵， Λ 为实对角矩阵。 类似地，一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基，故正规矩阵可以被分解成 A = U Λ U H {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{H}} 其中 U 为一个酉矩阵。进一步地，若...

的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。 斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下：iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …，其中 λk 是實數。 实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵...

正规可以指： 正规子群 正规空间 正规矩阵 正规模态逻辑 正规扩张 正规数 正规态射 正规族...

逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中，給定一个n 階方陣 A {\displaystyle \mathbf {A} } ，若存在一n 階方陣 B {\displaystyle \mathbf {B} } ，使得 A B = B A = I n {\displaystyle...

方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由 n × n {\displaystyle n\times n\,} 矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了 n = 1 {\displaystyle n=1\,} ，此環並不是交换環。 M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n...

a_{n}} 均不為零。 單位矩陣 I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} 及零矩陣恆為對角矩陣。 對角矩陣是對稱矩陣、上三角矩陣及下三角矩陣。 (定义)若对角矩阵主对角线上的元素都相等，则又称其为数量矩阵。(性质)数量矩阵可表示為單位矩陣及一个系数 λ {\displaystyle...

在線性代數中，么正矩陣（又译作幺正矩阵，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： （數學定義） U ∗ U = U U ∗ = I n {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}} ， （推論） U − 1 = U ∗ {\displaystyle...

{\displaystyle A} 正规当且仅当存在酉矩阵 U {\displaystyle U} 使得 A = U Λ U ∗ {\displaystyle A=U\Lambda U^{*}\;} 其中 Λ {\displaystyle \Lambda } 是对角矩阵，其各项为 A {\displaystyle...

矩阵分解（decomposition, factorization）是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。 在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。 例如，当对线性方程组 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf...

在线性代数裡，正定矩阵（英語：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 一个 n × n {\displaystyle...

在線性代數中， n {\displaystyle n} 階單位矩陣，是一個 n × n {\displaystyle n\times n} 的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以 I n {\displaystyle I_{n}} 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為...

在線性代數中，矩陣A的轉置（英語：transpose）是另一个矩陣AT（也寫做Atr, tA, At或A′）由下列等價動作建立： 把A的行寫為AT的列 把A的列寫為AT的行 形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣 A i j T = A j i {\displaystyle A_{ij}^{\mathrm...

线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。 初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。 两行（列）互换： R i ↔ R j {\displaystyle...

一个厄米矩阵（或厄米矩阵的特例实对称矩阵）或酉矩阵永远不会是缺失的 ；更广义地说，一个正规矩阵（包括厄米矩阵和酉矩阵作）永远不会是缺失的。 任何 2× 2 或矩阵维度更大的非平庸若爾當矩陣 （即不完全对角）会是缺失的。 （一个对角矩阵是具有所有平庸 若爾當块 的若尔当标准型的特例，并且不是缺失的)。...

大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如...

每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。 若對稱矩陣 A {\displaystyle A} 的每個元素均為實數， A {\displaystyle A} 是實對稱矩陣。 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。 如果X是對稱矩陣，那麼 A...

矩阵。 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTv。如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，则...

数学中，矩阵乘法（英語：matrix multiplication）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（英語：matrix product）。设 A {\displaystyle A} 是 n × m {\displaystyle n\times m} 的矩阵，...

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英語：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的伴随矩阵记作 a d j...

非奇异矩阵 (又称 可逆矩阵 或 正则矩阵) 是一种存在逆元的方块矩阵。相反的，若方阵不存在逆元，则称为 奇异矩阵。 方阵 A {\displaystyle A\,} 非奇异与以下论述等价： A {\displaystyle A\,} 是可逆的。 A T A {\displaystyle A^{T}A\...

可对角化矩阵是可化簡為对角矩阵的方阵。矩阵對角化后大幅降低了某些属性的計算難度，比如其行列式就是对角線上所有數字的乘積，而对角線上的數字就是其特征值。 可對角化也使该线性变换的几何意义更直觀，因為每個线性变换都可以對應到一個矩陣，所以将矩阵对角化等價於找到一组基底，使的线性变换的作用僅僅是伸缩基底向...

矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。 如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称 A和B“置换相似”。 如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称 A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正规矩阵都酉相似于某个对角矩阵。...

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 對一個 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} ，在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的子行列式（余子式）...

幂零矩阵（英語：nilpotent matrix）是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式： M q = 0 {\displaystyle M^{q}=0\,} 对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足 L q = 0 {\displaystyle L^{q}=0} 对于某个整数q。...

\sigma _{min}(A)} 分别是 A {\displaystyle A} 的极大和极小奇异值。因此 若 A {\displaystyle A} 是正规矩阵则 κ ( A ) = | λ m a x ( A ) λ m i n ( A ) | {\displaystyle \kappa (A)=\left|{\frac...

在數學的矩陣理論中，一個分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱為區塊。換個方式來說，就是以較小的矩陣組合成一個矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個子矩陣，都擁有相同的列數（行數）。 通过将大的矩阵...

矩阵是不可交换的，因为对角矩阵D不一定是数量矩阵。矩阵N是一个幂零矩阵。因此，每个相似于若尔当标准型的矩阵都可以写成可交换的一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和。因为与对角矩阵和幂零矩阵相似的矩阵仍然是对角矩阵和幂零矩阵。换句话说，只要一个矩阵...