祖暅（gèng）原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有云：「緣冪勢既同，則積不容異。」 该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时祖冲之儿子祖暅再次提出，兩父子用这原理求出牟合方盖体积，进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡...

父子共同發現了祖暅原理，即西方所稱之卡瓦列里原理。 王树和. 《数学演义》. 科学出版社. : P34. ISBN 9787030218377.  唐代王孝通稱他為祖暅；阮元《疇人傳》卷四稱他為祖暅之。 s:隋書/卷17 梁初因齊，用宋元嘉曆。天監三年下詔定曆……至九年正月，用祖...

祖沖之（429年—500年），字文远，范阳郡逎县（今河北省保定市涞水县）人，刘宋时代杰出的数学家、天文学家，主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。祖冲之的儿子祖暅之也是数学家。 祖家歷代都對天文历法素有研究，祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。祖冲之青年时，就得到博学多才的名譽，宋孝武帝听...

r^{2}h.} 其中底面圆面积： S = π r 2 . {\displaystyle S=\pi r^{2}.} 圆锥的体积公式可以从祖暅原理推出。祖暅原理说明，如果两个高度相同的立体形体在所有等高截面上面积都相等，那么它们体积相等。以圆锥底面为基准面，放置一个底面积为 π r 2 {\displaystyle...

截面（英語：Cross section）為一幾何學名詞，是指一三維空間下的物體和一平面相交所產生交集。截面的面積稱為截面積，被截面分离的物体称为截面体。 祖暅原理說明若兩個固體對應的截面積相等，則其體積相等。 一物體以特定角度觀看時的截面積（ A ′ {\displaystyle A'}...

博納文圖拉·弗蘭切斯科·卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri，1598年—1647年11月30日），意大利幾何學家。他對數學的興趣起於歐幾里得的作品，和跟伽利略的會面。 他发现了与祖暅原理等价的定理，该定理说明，具有同样高度和恒等横截面积的几何体具有相同的体积。通过定积分的黎曼和定义可以直接得到该结论。...

{1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }} 可见，托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的，其体积和表面积除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。 需要注意的是，托里拆利小号和伪球面的形状和性质（体积有限）相似，但两者是完全不同的曲面。 双曲线 科赫曲線 宇宙的形状 旋轉曲面 芝诺悖论...

}{3}}} r³，所以V球=⅔V柱。即当圆柱容球时，球体积是圆柱体积的⅔。 此外，阿基米德还发现，圆柱容球时，球表面积正好也是圆柱表面积的⅔。 祖暅原理 阡栢_渡. 阿基米德临死的详细故事. 百度知道: 2007–12–15. [2016-10-02]. （原始内容存档于2016-10-02） （中文（中国大陆））...

但劉徽沒有提供牟合方蓋體積公式，也就得不出球體積公式。 一直到南北朝，數學家祖冲之和其子祖暅之才另創新法求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀錄在唐代李淳風為九章算數作的注解中，流傳至今。 （臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取...

有噪信道编码定理 有限简单群分类 演绎定理 圆幂定理 友谊定理 因式定理 隐函数定理 有理根定理 余弦定理 余切定理 叶戈罗夫定理 中国剩余定理 证明所有素数的倒数之和发散 秩-零化度定理 祖暅原理 中心极限定理 中值定理 詹姆斯定理 最大流最小割定理 主轴定理 中线定理 正弦定理 正切定理 最大模原理...

祖沖之解決。 祖沖之(429-500)與祖暅父子使中國數學發展創一高峰。祖沖之著有《綴術》、《九章術義注》及《重差注》（一說《綴術》乃祖暅所作），惜俱失佚。 數學上祖沖之的最大貢獻有二：推算圓周率及計算球體體積（一說後者乃祖暅之法）。他繼承劉徽的割圓術，計算圓周率準確至小數點後7位數(3...

原理，來測量山高水深等數值。他又指出《九章算術》計算球體體積方法錯誤，但亦未能提出更準確方法。這個疑問須留待祖沖之解決。 祖沖之與祖暅父子使中國數學發展創一高峰。祖沖之著有《綴術》、《九章術義注》及《重差注》（一說《綴術》乃祖暅所作），惜俱失佚。數學上祖...

「無窮小的量」的概念最初在埃利亞學派有所討論。柏克萊指出無窮小量的特性為「既不是有限量，也不是無限小，又不是零」。而阿基米德在其《機械原理方法論》（The Method of Mechanical Theorems）中初次提出過一種和無窮量有關的邏輯上嚴密的敍述。但在古希臘的數學系統裡...

充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。 中国的刘徽在公元三世纪也应用穷竭法求圆的面积。在公元五世纪，祖冲之採用祖暅原理计算出球体积，該原理後來也被称之为卡瓦列里原理。 欧洲文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯·麥卡托發明了...

阿基米德的方法基於他對物理學的研究，涉及質心和槓桿定律。他將已知總質量和質心的圖形的面積或體積與另一個未知圖形的面積或體積進行比較。他將平面圖形視為由無限多條線構成，類似於後來的祖暅原理，然後將一個圖形的每一條線（或切片）與第二個圖形的對應切片在一個槓桿上進行平衡。關鍵在於這兩個圖形的定位不同，從而導致對應切片與支點的距離不同，使...

博洛尼亚大学天文学教授，是第一个发现土星的四个卫星的人，并发现了卡西尼分界线以及木星的较差自转。 博纳文图拉·卡瓦列里 - 博洛尼亚大学几何学教授，发现了与中国祖暅原理等价的定理，该定理说明，具有同样高度和恒等横截面积的几何体具有相同的体积。 马尔切洛·马尔皮吉 - 博洛尼亚大学解剖学教授，显微解剖学及组织学之父...

，是8:5，由此推論圓周率是10的平方根： 10 = 3.1623 {\displaystyle {\sqrt {10}}=3.1623} 。南北朝祖暅《渾天論》則提到張衡提出的另一個數字： 736 232 = 3.1724 {\displaystyle {\frac {736}{232}}=3.1724}...

是球面的半径。阿基米德首先推导出了这个公式，他通过证明球体内的体积是球体内部与外接圆柱体（具有与球体直径相等的高度和直径）内部之间的体积差值的两倍而得出该公式。 这个说法可以根据祖暅原理得到。该公式也可以使用积分得出，即用截面积分（定积分）对无穷多的厚度无穷小的圆盘沿 x 轴从 x = −r 到 x = r 堆积起来的体积求和，假设该球面半径为...

正不動的北極位置，判定它離當時所謂的北極星其實有三度之遙。其實三度的結論是錯誤的，是沈括讀錯了儀器，混淆了圓周角與圓心角，結果大了一倍。書中反而批評祖暅較正確「一度有餘」的數字。《夢溪筆談》記述了沈括對晷漏進行的研究，第一次從理論上推導出冬至日晝夜一天的長度「百刻而有餘」，夏至日晝夜一天的長度「不及...

运动的“圆法”“妥法”并没有流传下来，根据近代严敦杰考证其实类似于连续函数的插值法，沈括实际上以高阶插值法取代了原先的线性插值法。 沈括改进了5世纪祖暅之发明的窥管，增长其半径以便校准，通过长达三个月的观察，纠正了古人认为北极星不动的观点，观察得出北极星（当时的北极星为今天的天枢星）其实偏离北极“三...

f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} 。对于可微函数，极值点一定是驻点。 在分析力學裏，虛功原理闡明，對於一個靜態平衡系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等於零，以方程式表達， δ W = ∑ i F i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle...

n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t , {\displaystyle...

}{\partial {c_{k}}}}=\lambda _{k}} 。 中我们可以看出λk是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。拉格朗日力学就使用到这个原理。 拉格朗日乘数法在卡罗需－库恩－塔克条件被推广。 很简单的例子 求此方程的最小值： f ( x , y ) = x 2 y {\displaystyle...

解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理將各種通解線性组合起来，以滿足所有邊界條件。 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 ≡...

极限 L'Hôpital's Rule. [2020-10-20]. （原始内容存档于2020-12-31）.  沈忠良, 黄葆华; 张伟明. 通信原理简明教程. 机械工业. 2012: 14. ISBN 978-7-111-37784-9.  Eli Maor. The Story of a Number...

逐次积分 积分顺序（英语：Order of integration (calculus)） 积分估值定理 旋转体 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 祖暅-卡瓦列里原理 托里拆利小号 雅可比矩阵 广义多重积分 高斯积分 若尔当曲线 曲线积分 曲面积分 施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца） 散度 旋度...

式[來源請求]。刘徽在公元3世纪所作的注释中，给出了精确到小数点后5位的圆周率。到了公元5世纪，祖冲之将π计算到了小数点后7位，他靠计算上的毅力，计算出之后1000年间最准确的π值。他也发明了以祖暅原理的方法计算球的体积。 中国数学的最高峰出现在13世纪宋朝，此时中国代数得到了发展。其中最重要的著...

f(n)=f(b)-f(a-1)} 牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。 當 x...

 第175-183页. 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.  Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976....

换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。 如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y...

y_{3}]&&\\x_{3}&[y_{3}]=y_{3}&&&\\\end{matrix}}} 牛頓插值公式，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。 使用均差的牛顿插值法為：...