线性方程组是数学方程组的一种，它符合以下的形式： { a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + ⋯ + a 1 , n x n = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + ⋯ + a 2 , n x n = b 2 ⋮ ⋮ a m , 1 x 1 + a m ...

所以它的解为： { x = 2 y = 4 {\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}} 方程式 线性方程组 （英文）電腦解決數學問題 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）线性方程组求解器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）...

增广矩阵，又稱廣置矩陣，是在线性代数中系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵，如：方程 A X = B {\displaystyle AX=B} 系数矩阵为 A {\displaystyle A} ，它的增广矩阵为 ( A | B ) {\displaystyle (A|B)} 。方程组...

method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用来求出线性方程组解的近似值。该方法以卡爾·弗里德里希·高斯和路德维希·赛德尔（英语：Philipp Ludwig von Seidel）命名。 对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组 a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + …...

+x_{r}c_{i_{r}}=0} 只有零解.另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩 ≥ r {\displaystyle \geq r} .于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的...

数值线性代数中的常见问题如LU分解、QR分解、奇异值分解、特征分解等，然后可用于解答常见的线性代数问题，如求解线性方程组、定位特征值、最小二乘优化等。数值线性代数的核心问题是开发在有限精度计算机上应用真实数据时不会引入误差的算法，这通常通过迭代法来实现，而非直接方法。...

i j ( m ) A ) = det A {\displaystyle \det(T_{ij}(m)A)=\det A} 。 初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。...

factorization）是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。 在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。 例如，当对线性方程组 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } 进行求解时，矩阵A可以通过LU分解进行分...

gradient method），是求解系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组的数值解的方法。共轭梯度法是一个迭代方法，它适用于系数矩阵为稀疏矩阵的线性方程组，因为使用像Cholesky分解这样的直接方法求解这些系统所需的计算量太大了。这种方程组在数值求解偏微分方程时很常见。 共轭梯度法也可以用于求解无约束的最優化问题。...

Method）是一种解对角元素几乎都是各行和各列的绝对值最大的值的线性方程组的算法。求解出每个对角元素并插入近似值。不断迭代直至收敛。这个算法是雅可比矩阵的精简版。方法的名字来源于德国数学家卡尔·雅可比。 给定一个n×n的线性方程组 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x}...

且具备完整体系。其基本特征在于将实用问题（包括几何学问题）代数化，转化为线性方程组、高次多项式方程、或高次多项式方程组，主要利用机械化的算具和算法求解，或進行刻板的、有系統的逐次消元过程，為求将多元线性方程组、或多元高次方程组转化为单变数式或单变数多项式。由於中国传统数学以算为主，故稱為算學。算筹...

是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展...

线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组...

用数学特点，与希腊数学重逻辑推理和抽象化的希腊数学形成鲜明的对照。 算學基本特征在于将实用问题（包括几何学问题）代数化，转化为线性方程组、高次多项式方程、或高次多项式方程组。傳統的計算工具有算筹、算盘等，配合算经中的术文或珠算口诀等计算流程進行。 印度數學（英语：Indian mathematics）...

解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被視為高斯消去法的矩陣形式。在数值计算上，LU分解經常被用来解线性方程组、且在求逆矩阵和计算行列式中都是一個關鍵的步驟。 對於方阵 A {\displaystyle A} ， A {\displaystyle A} 的...

括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。...

二次曲面：類球面、椭球、抛物面、双曲面 较高级的研究有： 三维的射影几何 用增加一个维度的方法的笛沙格定理的证明 更多的多面体 描述几何 解析几何和向量技术通过允许系统的使用线性方程组和矩阵代数带来了重大的冲击；这在高维变得更为重要。研究这个主题的一个重要应用是计算机图形学，这意味着算法变得重要起来。 球 (数学) 欧几里得几何...

梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是行阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化行阶梯形矩阵是唯一的。 如果一个线性方程组的增广矩阵是行阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是行阶梯形矩阵。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化行阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是简化行阶梯形矩阵。 定义： [ 1 a 1 a 2 a 3...

一元一次方程式也被稱為线性方程，因為在笛卡尔坐标系上任何一個一次方程的圖形都是一條直线。组成一次方程的每一项必須是常数或者是一个常數和一个变量的乘積。且方程中必須包含一个變量，因為如果没有變量只有常數，式子則是代数式而非方程式。 如果一次方程式中只包含一个文字符號，且最高次方為一，那么该方程就是一元一次方程式；...

formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。 一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示： A x = c (...

五种赛德尔像差。1896年8月13日，他在德意志帝国慕尼黑去世。 月球上“赛德尔环形山”就是以他的名字被命名。 高斯-赛德尔迭代是一种有用的求解线性方程组的数值迭代法。 菲利普·路德维希·冯·赛德尔. 苏格兰圣安德鲁斯大学,数学与统计学院. May 2000 [2015-05-11]. （原始内容存档于2019-11-09）...

  c n {\displaystyle c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}} 看作变量，则上式变为一个 n 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。 进一步可以证明， W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a...

over-relaxation，SOR）迭代法是高斯-赛德尔迭代的一种变体，用于求解线性方程组。类似方法也可用于任何缓慢收敛的迭代过程。 SOR迭代法由David M. Young Jr.和Stanley P. Frankel在1950年同时独立提出，目的是在计算机上自动求解线性方程组。之前，人们已经为计算员的计算开发过超松弛法，如路易斯·弗莱·理查德森的方法以及R...

复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如 f ( x ) = 4 x {\displaystyle...

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。 一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。...

以行空间为例，设A为一n阶可逆方阵，给定一个线性方程组Ax=b，则该方程可理解为一种坐标变换： 某个n维向量在某个坐标系下（实际是以A的列向量的最大线性无关组为基底的坐标系，称为原坐标系)被称为（描述为）x，则x的各个分量值即该n维向量在原坐标系下的坐标值。矩阵A作用于x是指对该向量在由A的行向量所确定的一组...

极，它们在振动时能够辐射电磁波并作用于其它电偶极。进一步，设想物体是由大量的电偶极组成，则由电动力学理论可以建立起描述所有偶极子相互影响的线性方程组，求解该方程组获得偶极电磁场。最后，把所有偶极的电场作用叠加后就获得了整个物体内部以及周围空间的电磁场。 1964年，Howard...

在数学上，广义最小残量方法(一般简称GMRES)是一个求解线性方程组 数值解的迭代方法。这个方法利用在Krylov子空间中有着最小残量的向量来逼近解。Arnoldi迭代方法被用来求解这个向量。 GMRES方法由Yousef Saad和Martin H. Schultz在1986年提出。 需要求解的线性方程组记为 A x = b {\displaystyle...

}-11664x^{2}-34992=0} ，得精确解 x = 3 {\displaystyle x=3} 。 缀术推星，推求物价，均货摊本。 线性方程组的消元法起源于《九章算术》卷八《方程》章。秦九韶在《数书九章》卷17第73问发展了《九章算术》的消元法，创造了互乘消元法。...

{d_{1}}\\{d_{2}}\\{d_{3}}\\\vdots \\{d_{n}}\\\end{bmatrix}}.} 高斯消去法在求解一般线性方程组时需要 O ( n 3 ) {\displaystyle O(n^{3})} 时间复杂度，但对于三对角系统则只需 O ( n ) {\displaystyle...

数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩...