量子力學和量子场论的路徑積分表述（英語：path integral formulation或functional integral）是一個從經典力學裡的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。它以包括两點間所有路徑的和或泛函積分而得到的量子幅來取代經典力學裡的單一路徑。 路径积分表述...

路徑積分可能指的是： 曲线积分，數學上沿一條曲線積分，尤其是複平面上的閉合曲線。 路徑積分表述，一種量子力學表述。...

等微觀物體的波動性與粒子性的實驗。雙縫實驗是一種「雙路徑實驗」。在雙路徑實驗裏，微觀物體可以同時通過兩條路徑或通過其中任意一條路徑，從初始點抵達最終點。這兩條路徑的程差促使描述微觀物體物理行為的量子態發生相移，因此產生干涉現象。另一種常見的雙路徑實驗是马赫-曾德尔干涉仪實驗。...

莫特的分析令人聯想到理查·費曼發明的路徑積分表述方法，但是比它要早了二十年。思考被α粒子離子化的原子，通過計算它們的每一種可能位置組合，莫特證明，聯合機率分佈壓倒性地傾向於離子化路徑就是經典路徑的案例。 現今，莫特問題偶而會出現於天文物理學或宇宙學的理論研究裏，當...

，所以 ( θ i ) 2 = 0 {\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0\,} 。 為了能讓費米子也有路徑積分，格拉斯曼數的積分需要有以下特性： 線性 ∫ [ a f ( θ ) + b g ( θ ) ] d θ = a ∫ f ( θ ) d θ + b ∫ g...

学表述又进一步得到了发展。在下文中所叙述的形式是一种简单的特例。在这之后发展起来的量子力学表述包括： 路径积分表述 相空间表述以及几何量子化（英语：geometric quantization） 符号粒子表述 弯曲时空中的量子场论 公理化量子场论（英语：Wightman axioms）、代数量子场论（英语：local...

而不違反相對論；事實上，超越光速對保留相對性時空的偶然性有幫助。）每一個終態的概率然後就從所有如此的概率中得出。這跟量子力學的泛函積分表述有密切關係，該表述（路徑積分表述）也是由費曼發明的。 如此計算如果在缺少經驗的情況下使用，通常會得出圖的振幅為無窮大，這個答案在物理理論中是不能接受的。問題在於粒...

(量子力學)）。 1948年，费曼发明了路径积分表述，将最小作用量原理扩展到量子力学。在该表述中，粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径；特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。在经典力学的范围，路径积分表述简单的退化为哈密顿原理。 物理学主题 分析力学 哈密顿力学 达朗贝尔原理...

要同时考虑位置和动量，就必须转到位形空间的余切丛中。这个更大的空间称为系统的相空间。简单说来，一个位形空间通常是一个相空间从函数空间构造的“一半”。 在量子力学中，路径积分表述强调了位形的历史。 位形空间也和辫理论相关，因为一条弦不穿过本身的条件可以表述为将函数空间的对角线切除。 相空间 函数空间...

在物理学中，法捷耶夫-波波夫鬼粒子（Faddeev–Popov ghost），是一种为了保持路径积分表述的一致性而引入规范量子场论的附加场，以路德维希·法捷耶夫和维克多·波波夫（英语：维克多·波波夫）的名字命名。 法捷耶夫-波波夫鬼粒子之所以是必须要引入的，是因为在路径积分表述中，量子场论必须给出明确、非奇异的解，而由于规范对称性的...

相空间表述是量子力学的一种表述。在这一表述中，系统的状态是在相空间中描述的，位置与动量被放在同等重要的位置。在量子力学常用的薛定谔绘景中则只会采用动量表象或是位置表象中的一种。相空间表述两个关键的特点是：量子态是以准概率分布（英语：quasiprobability...

{\partial }{\partial y}}\ln Z} 作为一种特别情况，压强的表达式是： p = 1 β ∂ ∂ V ln ⁡ Z {\displaystyle p={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial V}}\ln Z} 费曼－卡茨公式 路徑積分表述...

formalism） 的延伸。 應用作用量，取對於作用量的泛函變分的極值為容許的組態，這樣，可以給出經典力學理論。通過路徑積分表述的方法，可以從系統的作用量，製造出對應於經典系統的量子力學描述。 量子霍爾效應 量子引力 超弦理論 迴圈量子重力理論 不確定性原理 BRST量子化...

等等；此處根據愛因斯坦標記法省去了對標號μ求和的記號。如果參數λ足夠小，四次方相互作用項就可算作微擾。 與正則量子化表述不同的是，路徑積分表述的重點並不在建立算符和態空間上，而是在於直接計算某過程的振幅。費曼路徑積分的大意是，要計算一個系統從某初始態 | ϕ I ⟩ {\displaystyle |\phi _{I}\rangle...

\mathrm {d} t=0} 。 請特別注意，這方程式看起來簡易精緻，然而，隱藏在使用方面有很大的問題。歐拉的作用量積分於路徑；而這作用量積分於時間。變分法要求積分域兩端固定不變。雖然路徑兩端是固定值，轉換至時間，為了要滿足能量守恆，時間間隔的兩端可能不是固定值。亞可比因此批評拉格朗日的方法有瑕疵。後...

路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。 戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑...

浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力學的严谨路徑積分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中，维纳过程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。 一个维纳过程（也称为标准布朗运动）...

路徑，而且無法判斷光到底會選擇哪條路徑傳播之時，光會展示出波動性質，從而導致干涉現象。當干涉儀內只有一條可供光傳播的路徑之時，光會展示出粒子性質，因此干涉現象會消滅殆盡。 假設置放一枚炸彈於位置B（下路徑）。 假若炸彈是不爆彈，則這等於沒有置入炸彈的狀況，光子移動於兩條路徑...

分子本身的量子效应的体系，往往采用波包近似处理或采用量子力学的费恩曼路径积分表述方式处理。 分子动力学也常常被采用作为研究复杂体系热力学性质的采样方法。在分子体系的不同状态构成的系综中抽取样本，从而计算体系的构型积分，并以构型积分的结果为基础进一步计算体系的热力学量和其他宏观性质。...

從實驗方面來說，再精緻的設計，也只能演示出一部份量子現象，無法演示出全部量子現象。舉例而言，在量子擦除實驗裏，路徑信息透露粒子經過的是哪條路徑，而干涉圖樣顯露波動相互干涉所形成的圖樣，觀測到越多路徑信息，則干涉圖樣的可視性越低；反之亦然。單獨一種實驗無法同時完整地觀測到這兩種現象，需要用兩種不同的實驗設...

1 α ′ {\displaystyle M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}} ) 和一個無質量引力子。 玻色子弦理論可以由路徑積分定義： I 0 [ g , X ] = T 8 π ∫ M d 2 ξ g g m n ∂ m x μ ∂ n x ν G μ ν ( x ) {\displaystyle...

principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。 費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数...

几何相位例子包括阿哈罗诺夫–波姆效应、潜在能量的表面、和经典力学的傅科摆。 度量量子力学的几何相位需要干涉的实验。 若系统处于第n个量子态，则通过哈密尔顿的绝热过程（或路径积分表述）： C n ( t ) = C n ( 0 ) exp ⁡ [ − ∫ 0 t ⟨ ψ n ( t ′ ) | ψ ˙ n ( t ′ ) ⟩...

表述方式（英语：Koopman–von Neumann classical mechanics）。他们将量子力学中常用的希尔伯特的算符利用于经典力学。 保罗·狄拉克在其1933年发表的一篇重要论文中提出经典力学是量子力学的涌现：非极限情况的宏观行为，即S » ħ时，会导致路径...

源頭電流的微小路徑元素。 必歐-沙伐方程式適用於當介質是真空、空氣或相對磁導率為1的類似物質。這包括了空心感應器和空心變壓器。使用這方程式，對於一個較複雜的線圈幾何，可以分成幾個部分積分，或者，對於很困難的幾何形狀，可以使用數值積分。由於這方程式主要是用來解析線性問題，完整結果會是每一個部分的積分的總和。...

路徑元dℓ，其定義由右手定則所規定，就是當右手姆指跟表面Σ的垂直線n同一方向時，其他手指所指的那一個方向。 圍繞着∂Σ的積分叫曲線積分或路徑積分。麥克斯韋-法拉第方程右邊的曲面積分，是通過Σ的磁通量ΦB的明確表達式。注意E的非零路徑積分...

{\displaystyle \mathbf {F} } 是作用於環圈的勞侖茲力， C {\displaystyle \mathbb {C} } 是環圈這積分閉合路徑， i {\displaystyle i} 是感應電流， d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol...

gauge）中縱向的極化向量是不符合物理的，不應存在於散射矩陣中。 此恆等式可應用在限制量子電動力學中真空極化和電子節點方程（英语：Vertex function）的張量結構。 在路徑積分表述中，沃德-高橋恆等式源自測度泛函規範變換下的不變性。精確來說，若考慮某規範變換 ε {\displaystyle \varepsilon } 產生的影響...

在边界上，分数量子霍尔效应任意子被限制在一维空间中移动。一维任意子的数学模型提供了上述交换关系的基础。 任意子跟下面的概念相关： 同伦 辫理论 路徑積分表述 阿哈罗诺夫－玻姆效应 1982年，崔琦发现了分數量子霍爾效應，赢了物理学诺贝尔奖。他的作品说明了任意子可能有石墨烯和半导体的引用。...

馬克士威方程組、电磁学、量子電動力學 G = U ( 1 ) {\displaystyle G=U(1)} 閱讀瞬子。 閱讀楊-米爾斯存在性與質量間隙、路徑積分表述。楊米爾斯有漸近自由、手徵對稱性破缺、以及質量間隙。YM場論也有夸克禁閉。但是現在沒有數學證明，只有計算機和格點規範理論支持的猜想。 楊-米爾斯存在性與質量間隙...

用波函數來計算，其機率幅的絕對值平方就是量子事件發生的機率密度。 薛定諤方程所屬的波動力學可以數學變換為維爾納·海森堡的矩陣力學，或理察·費曼的路徑積分表述。薛定諤方程是個非相對論性方程，不適用於相對論性理論；對於相對論性微觀系統，必須改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。 含時薛定諤方程描述物理系統隨時間演化，其最廣義形式為：...