在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 α {\displaystyle \alpha } 是微分算子 d {\displaystyle d} 的核，即 d α = 0 {\displaystyle d\alpha =0} 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) α {\displaystyle...

研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。 辛幾何 这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。 切觸幾何 这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式 α {\displaystyle...

微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。...

在线性代数中，1-形式（one-form）是向量空间上的一種线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。 在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R...

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI...

-維可定向閉流形 X {\displaystyle X} ，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性 b k ( X ) = b n − k ( X ) {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)} 在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X {\displaystyle X} 通常是閉流形，此時拓撲不變量...

} 微分几何术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为恰当形式(exact form)，而外导数为0的形式称为闭形式(参看闭形式和恰当形式);d 2 = 0这个关系说明 恰当的微分形式都是闭的. 其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。de Rham上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行：称...

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet...

theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 设 S {\displaystyle S} 是分片光滑的有向曲面， S {\displaystyle S} 的边界为有向闭曲线 Γ {\displaystyle...

刘维尔定理揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。...

者稱此定律為「橫向性要求」，因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。 高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。 高斯磁定律的微分形式為 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\...

为閉合曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q e n c {\displaystyle Q_{enc}} 为闭合曲面内的电荷， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 为真空電容率。 其微分形式为：...

a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} . 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜...

在數學的拓撲學中，偽阿諾索夫（Аносов）映射是曲面的一種同胚或微分同胚，是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞，也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。 一個閉曲面S上的測度葉狀結構，是S上的一個幾何結構，包含一個奇異葉...

曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率為負常數之空間的萬有覆疊空間。 閉上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X軸的并集，也是上半平面的闭包。 在微分几何中常見的擴展是双曲n-空间（英语：hyperbolic n-space）...

微分学（英語：Differential calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分...

R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。 向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。...

微分同胚）. 带边界紧曲面就是有一个或多个开圆盘被取掉的曲面，而且这些圆盘的闭包互不相交。 一个紧曲面可以嵌入到R3，只要它可定向或有非空边界。Whitney嵌入定理的结果表明任何曲面可以嵌入R4. 曲面在n维的嵌入的简单回顾和这样一个曲面的面积的计算可以在体积形式...

theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续； 在开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内可微分；...

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透過調整這三個單元的增益 K p {\displaystyle K_{p}} ， K i {\displaystyle K_{i}} 和 K d {\displaystyle...

内的总质量. 等式的左边称为引力通量, 它总是个负数或零, 而在电磁学中相应的通量则未必. 因为质量总是正的, 不像电荷有正有负. 高斯重力定律的微分形式为: ∇ ⋅ g = − 4 π G ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho...

是 p 原像的个数，则 deg2(f) 是 n 模 2。 微分形式的积分给出 （C∞-）奇异同调与德拉姆上同调之间的一个配对：<[c], [ω]> = ∫cω，这里 [c] 是由圈 c 代表的同调类，ω 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 m-维流形之间的一个连续映射 f : X→Y，我们有...

开集和闭集 开核和闭包 邻域和邻近性 紧致性和连续性 连续函数 数列的极限，网，以及滤子 分离公理 可数性公理 虽然还有其它一些更加复杂的术语，但这些术语通常都直接与这些基本术语相关，并且这些更加复杂的术语不在其他数学分支中广泛采用。其它的一些拓扑学主要分支有代数拓扑学、几何拓扑学、微分...

EMF）與動生電動勢（motional EMF）。根據法拉第感應定律，處於含時磁場的閉電路，由於磁場隨著時間而改變，會有感生電動勢出現於閉電路。感生電動勢等於電場沿著閉電路的路徑積分。處於閉電路的帶電粒子會感受到電場，因而產生電流。 移動於磁場的細直導線，其內部會出現動生電動勢。處於這...

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。 一般的連續性方程式的微分形式為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = s {\displaystyle...

右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。 安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量 F {\displaystyle \mathbf...

在现代微分几何中，"曲面"抽象的看来是一个二维微分流形。将这个观点和曲面的经典理论联系起来的是将抽象曲面嵌入到R3中，并用第一基本形式赋予黎曼度量。假设这个嵌入在R3中的像是曲面S。局域等度就是R3中的开区域之间的微分同胚f: U → V，限制到S ∩...

非零，且「非零數之平方亦非零」適用轉移原則。然而，dx2 的數值與 dx 相比是無限小的，也就是說，超實數系統包含了一系列的無限小量。 使用超實數進行微分可以更方便的進行代數操作。在標準微分中，偏微分和高階微分不能通過代數技巧獨立操作。然而，使用超實數，可以建立這樣的系統，只是會使用稍微不同的表示法。 超實數系統另一個關鍵用途是為萊布尼茨所用的積分符號...

该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。 對微积分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「无穷小变化」全部「加起來」，會等于该函數的净变化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。...

K，称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题，特别是典则度量（包括凯勒-爱因斯坦，常数量曲率凯勒度量和极值度量）的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展，近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。 一个凯勒流形，伴随的凯勒形式...

閉迴路控制器。閉迴路控制器利用反馈來控制动力系统的狀態或是輸出。反馈是系統的訊號（例如電壓或是電流），對應受控體的狀態或輸出（例如電動機的速度或是轉矩）有關，反馈一般是透過传感器量測到的訊號，再送回控制器為輸入訊號，因此形成一個迴路。 相較於開迴路控制器，閉迴路控制器有以下的優點：...