数学においてグリーンの恒等式（グリーンのこうとうしき、英: Green's identities）とは、ベクトル解析に現れる三つの恒等式のことを言う。グリーンの定理を発見した数学者のジョージ・グリーンの名にちなむ。 この恒等式は、ベクトル場 F = ψ∇φ に対して発散定理と恒等式: ∇ ⋅ ψ ∇...

グリーンの定理（グリーンのていり、英: Green's theorem）は、ベクトル解析の定理である 。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。 注: グリーンの恒等式もグリーンの定理と呼ばれることがある。...

Engineering)と名づけられている。 ノッティンガムにはグリーンの所有していた風車を再現した科学博物館グリーン風車科学センター（Green's Mill and Science Centre）があり、グリーンの業績を伝えている。 グリーンの恒等式 グリーンの定理 グリーンの法則 - 津波の波高と水深との関係を表す法則 George...

{\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'} ここで、ベクトル解析の恒等式より div ⁡ ( j × r r 3 ) = − j ⋅ rot ⁡ r r 3 {\displaystyle \operatorname {div}...

_{U}u\Delta f\,dx} が成り立つ（ただし、最後の等号はグリーンの恒等式を用いた）。この計算により、∆f = 0 ならば E は f の周りで停留する。逆に E が f の周りで停留するならば変分法の基本補題（英語版） により ∆f = 0 である。 二次元のラプラス作用素は x, y を xy-平面上の標準直交座標として...

ウィキメディア・コモンズには、ホイヘンス＝フレネルの原理に関連するメディアがあります。 グリーン関数 グリーンの定理 グリーンの恒等式 フレネル回折 - 近傍場の回折パターン フラウンホーファー回折 - 遠方場の回折パターン 二重スリット実験 ナイフエッジ効果 フェルマーの原理 フーリエ光学 屈折 反射 フェーズドアレイレーダー...

_{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.} この方程式の左辺は、グリーンの恒等式を用いた部分積分により、より対称的な次の形式で記述できる。 ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle...

に等しいこと』であり、関数の極限を用いて以下の等式で定義される。 lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)} これはε-δ論法によって次のように言い換えることができる。 任意の正の実数 ε について、適切に正の実数 δ をとることで、f...

\zeta (s)} は s と 1 − s に関する以下のような対称的な関数等式を持つ： ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} （リーマンのクシー関数も参照。） また、次のような重積分でも表記できる。 ζ ( n ) = ∫ 0...

d\Omega } となり、グリーンの第一恒等式が得られる。 同様に、任意の階数の微分可能テンソル場 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} と G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} に対して、発散定理より以下の部分積分公式が導かれる。...

{E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}} (1b) である。この式は電磁場の拘束条件を与える式である（ビアンキ恒等式）。 この式は E ,   B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}}...

}{}_{\lambda [\rho }\Gamma ^{\lambda }{}_{\beta ]\alpha }} ビアンキの恒等式からの帰結として、リーマン多様体のリッチテンソルは次の意味で対称となる。 Ric ⁡ ( ξ , η ) = Ric ⁡ ( η , ξ ) {\displaystyle \operatorname...

の概念も四元数に非常に類似しており、ハミルトンには先見性があったのではないかとされる。 場の微分 曲率 ナブラ 勾配・発散・回転 偏微分 線積分・面積分（微分形式の積分） グリーンの定理 発散定理（ジョージ・グリーン、カール・フリードリヒ・ガウス） [脚注の使い方] ^...

={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma } 上記の等式の証明は、主定理の左辺をグリーンの定理に帰着する過程に他ならない。 線積分の定義より、以下が成り立つ。 ∮ Γ F d Γ = ∫ a b ⟨ ( F ∘ c ( t ) )   |  ...

なシステムでは、入力から得られる出力を計算で求めることができ、インパルス応答と呼ばれる特殊な並びでそのシステムの特性を完全に表すことができる。これは、次のように示すことができる。次の恒等式がある。 x [ n ] = ∑ k x [ k ] δ [ n − k ] {\displaystyle x\left[n\right]=\sum...

|u\|^{2}+\|v\|^{2})} も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式によってノルムから一意的に定まる。実ヒルベルト空間における極化恒等式は ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖...

は ω の積分領域 Ω の境界である。ω が 0-形式で Ω が実数直線内の閉区間である場合が微分積分学の基本定理にあたる。また、ω が 1-形式で Ω が平面上の二次元の領域であるときがグリーンの定理であり、同様に 2-形式あるいは 3-形式とホッジ双対を考えて（狭義の）ストークスの...

の間に、米国の経常赤字は6,500億ドル増加した。対GDP比で1.5%から5.8%への増大である。米国は主にアジアの発展途上国や産油国などから巨額の国際投資を引き寄せた。国際収支統計の恒等式に基づけば、ある国（例えば米国）の経常収支が赤字なら、資本収支（投資）は同額の黒字になる。国外の...

上の n次行列全体の成す集合は、実数倍と行列の加法に関して n2次元の実ベクトル空間であり、行列の乗法を環の乗法として持つ。二次の実正方行列を考えるのが非自明だが基本的な例である。 リー環は非結合的かつ反交換的な乗法を持つ環で、ヤコビ恒等式を満足するものである。より細かく、リー環 L を加法に関してアーベル群で、さらに演算...

数学の実解析の分野において、リーマン積分（リーマンせきぶん、英: Riemann integral）とは、ベルンハルト・リーマンによる区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化である。 リーマン積分の源流は、オイラーによる左リーマン和と右リーマン和を用いた逆微分による定積分の近似式にまで遡ることができる。...

等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。 平均値の定理の特別の場合について、最古の記述はインドのケーララ学派Parameshvara (1370–1460) によるGovindasvāmiおよびバースカラ2世に関する解説の...

可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。 k 形式を無限小 k...

theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。 ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。 1762年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス（1813年）、ジョージ・グリーン...

において）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を |x| = 1 にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を (1 + x)α の連続性に基づいて適用した帰結である。 自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を...

を得る。証明自体には不必要だが、この積を以下のような面積図 を用いて図形的に表すのも理解の一助となるであろう。Δh の値を得るには、先の等式 (∗) から h(x0) = f(x0)g(x0) を引けばよいのだから、面積図で言えば白い矩形の面積を除く残りの三矩形の面積にあたる Δ h = Δ f g (...

の値を小数点以下第4位の3.1416まで計算した。後の14世紀に、サンガマグラーマのマーダヴァは、円周率を小数点以下第11位まで計算した。 7世紀に、ブラーマグプタはブラーマグプタの定理、ブラーマグプタの二平方恒等式、ブラーマグプタの公式を定め、『ブラーマ・スプタ・シッダーン...

を境界 ∂D とする領域 D でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。 弧長 グリーンの定理 ストークスの定理 ケルビン・ストークスの定理 周回積分（留数と複素積分を用いて実積分等を計算する方法）。 多重積分 面積分 発散定理 ナッハビンの定理（英語版） 汎函数積分（英語版）...

}f(n)} （不等式は拡大実数におけるものと考える必要がある。）この証明の中核部分は、ニコル・オレームによる調和級数の発散性の証明に倣っている。 最初の不等式を示すため、元の級数を2の冪乗個ずつの項にくくり直す。くくられたそれぞれの和は、数列の非増加性より、最大値をとる最初の項の値で置き換えた和で上から抑えられる。...

の定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。 テイラーの定理は1712年に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー...

高木貞治『解析概論』（改訂第三版）岩波書店。  ベクトル解析 - 線積分・面積分・体積積分 / ストークスの定理・ガウスの定理・グリーンの定理 微分形式の積分（多様体上の積分） Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". mathworld.wolfram...

初等解析学において、さまざまな変数に関する無限小変分の間の関係性を微分商を用いて述べることができる。y が x の函数であるとき、y の微分 dy は dx との間に等式 d y = d y d x d x {\displaystyle {\mathit {dy}}={\frac...