数学では、シンプレクティック同相(symplectomorphism)（あるいは、シンプレクティック写像(symplectic map)とも言う）は、シンプレクティック多様体のカテゴリでの同型のことを言う。古典力学では、シンプレクティック同相は、体積保存する写像で、相空間のシンプレクティック...

(diffeomorphic) である（記号では通常 ≃）とは、M から N への微分同相写像 f が存在するということである。それらが Cr 微分同相 (Cr diffeomorphic) であるとは、それらの間の r 回連続微分可能な全単射が存在して逆写像もまた r 回連続微分可能であるということである。 多様体 M...

シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。 シンプレクティック多様体上の幾何学、その動機である古典力学（解析力学）との関係は、シンプレクティック幾何学も参照のこと。...

}(M)\}\,} が成り立つ。 また、ハミルトン微分同相写像の固定点の個数に関する、ベッチ数評価やcup length評価版もある。この予想が提出されて以降、いくつかの部分解が証明されたが、本質的に進展したのはフレアーによってである。フレアーは、シンプレクティック多様体が単調 (monotone)...

位相多様体とは、チャートと呼ばれる同相写像の集まりアトラス によって線型空間に局所的に同相な第二可算ハウスドルフ空間である。1 つのチャートの、別のチャートの逆写像との合成は、変換関数と呼ばれる関数であり、線型空間の開部分集合から線型空間の別の開部分集合の上への同相写像...

とおくと、行列群に対しては今の定義は先の定義と同じものを定めることが確かめられる。これを指数写像と呼ぶ。作り方からこれはリー環 g を対応するリー群 G のなかへ写すことが判る。指数写像は、リー環 g の零元 0 の近傍からリー群 G の単位元 e の近傍への可微分同相写像である。実数全体が成す可換リー環 R は正の実数全体が乗法に関して成すリー群...

と書くことができるような余接バンドル上の座標系で、全微分に対し一意的に定義される。この形式を保存する座標変換は、正準変換である。これらはシンプレクティック同相写像の特別な場合であり、本質的にはシンプレクティック多様体上の座標変換である。 次に述べることは、多様体が実多様体であると仮定し、従って、接ベクトルに作用する余接ベクトルが実数となる。...

シンプレクティックフレアーホモロジー (SFHと略記する) は、シンプレクティック多様体とその上の非退化なシンプレクティック写像と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像がハミルトニアンであれば、ホモロジーはシンプレクティック多様体のループ空間（の普遍被覆）の上のシンプレクティック作用（英語版）の研究から出て来る。SFH...

数学的に厳密なグロモフ・ウィッテン不変量の定義は、長く難しいので、安定写像という記事と分けて扱う。本記事では、何が不変を意味するか、どのようにして計算するか、なぜグロモフ・ウィッテン不変量が重要なのかのより直感的な説明を試みる。 以下にグロモフ・ウィッテン不変量を定義する。 X : 次元 2k の閉じたシンプレクティック多様体...

\mathbf {R} ^{n-1}} と局所同相な近傍を持ち、同じプロセスを適用することができる。 連結多様体 M 上の体積形式は、唯一の大域不変量を持っている。すなわち、体積 μ ( M ) {\displaystyle \mu (M)} であり、写像で保存される体積形式の不変量である。 R n...

を保存する線形写像であり、SL(2, Z) はこの格子の向きを保存する写像である。これらは、（SL 写像は向きを保存する）トーラスの半同相（英語版）(self-homeomorphism)となり、実際、トーラスの（拡張された）写像類群（英語版）(mapping class group)に同型な写像...

多様体が双方とも向きつけられていれば、貼りあわせ写像を反対向きにとることにより、一意に連結和が定義される。構成は球の選び方にかかわらず、結果は同相の下に一意である。滑らかな圏ではこの操作は可能で、結果は微分同相の下に一意である。滑らかな圏での場合は、微妙な問題があり、球の境界の間のすべての微分同相...

き、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。 ハミルトン力学では、一般化座標qi (i=1,..,n)と対応する一般化運動量pi (i=1...

リー代数が無限次元であれば、問題はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所的にさえ同相写像でない（例えば、Diff(S1) において、exp の像に入らないような単位元にいくらでも近い微分同相写像を見つけることができる）。さらに、無限次元リー代数には、どんな群のリー代数でもないようなものがある。...

は（通常の同一視によって）恒等写像である。したがって指数写像は適当に制限すると g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} における 0 のある近傍から G における 1 のある近傍への微分同相となる。 しかしながら指数写像は一般には被覆写像ではない。すべての点において局所微分同相とはなっていないのである。例えば、so(3)...

1988)。アティヤの公理系は、微分可能写像（位相同型写像、もしくは、連続写像）で境界を張り合わせることで構成されるが、一方、セーガルの公理系は、共形写像で構成されている。シュワルツタイプは、ウィッテンタイプの全体をとらえていることが明らかではないにもかかわらず、これ...

シンプレクティック多様体に対しては正しい。b2+(M) = 1 であれば、任意の高い次元のモジュライ空間を持つ多様体の例が存在する。 サイバーグ・ウィッテン不変量は、単純型の多様体 M に対し最も定義しやすい不変量である。この場合に、不変量は spinc 構造 s から Z への写像で、s...

能であり、標準的に向きづけられている（複素多様体であれば、向き付け可能である：Cn （の部分集合）への双正則写像は、向きづけを保存する。) リーマン面 2つの複素多様体のデカルト積 正則写像の任意の臨界値でない値の逆像 滑らかな複素代数多様体は複素多様体で、次のような例がある： 複素ベクトル空間 複素射影空間...

回転するアニュラスの面積保存かつ向き保存なすべての同相写像は、少なくとも二つの不動点を持つ、という定理である。 ポアンカレ＝バーコフの定理は、1912年に論文 "Sur un théorème de géométrie" を出版したアンリ・ポアンカレによって発見され、いくつかの特別な場合については証...

の全体の次元である必要があるからである。 最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、微分同相の下に不変で、また B-場（カルブ-ラモン場ともいう）のシフトの下にも不変である。B-場は、次の形式 T ⊕ {\displaystyle \oplus } T* の等長写像である。 X + ξ ⟶ X + ξ + i...

実際、P2 ∖ {0} から A2 × P1 への写像 f を [a:b:c] ∈ P2 ∖ {0} に対して f ([a:b:c]) = (c t(a, b), [b:a]) で定めれば、これは well-defined で、先に定義したブローアップとの同相が得られる。原点のファイバーにおける無限遠直...

_{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}} により、上記の群準同型写像は同相である。またこの指数写像は明らかに R から T への全射となるが、単射でなく、準同型の核は 2π の整数倍全体の成す集合となるから、第一同型定理により T...

はホッジスター作用素を表す。 ヒッチン汎函数は、4次元多様体のヤン・ミルズ汎函数の 6次元での類似物である。 ヒッチン汎函数は、明らかに向きを保つ微分同相写像群の作用の下に不変である。 定理. M {\displaystyle M} を3次元の複素多様体 で、 Ω {\displaystyle \Omega...

なわち、任意のユークリッド空間は位相空間である。二つのユークリッド空間の間の同型は、対応する位相空間の間の同型（つまり同相）でもあるが、逆は正しくない。すなわち、距離を歪める同相写像が存在しうる。ブルバキの語法では、「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の台となる（underlying;...

{\displaystyle S^{n}} に同相であることを言っている。k = 3 の場合は、おそらく、低次元の小さな数の多様体のみが可能となり、M はイールス・クーパー多様体（英語: Eells–Kuiper manifold）と同相となる。1982年にエドワード・ウィッテンは、'摂動作用素'（英: perturbed...

純であることとは異なるということである。 単純リー群は多くの古典型リー群（英語版）を含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない例外的な（英語版）可能性もいくつか存在する...

離散力学系の準周期軌道は、閉包を取ると円に同相で、なおかつその閉包上で写像が単調である軌道として定義される。離散力学系の準周期アトラクターの例として、エノン写像に式はよく似ているが振る舞いは異なる次の写像がある。 x n + 1 = 1 − a y n 2 n + x n...

\varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}} とする事で、 E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} 上の可微分同相写像 φ c   :   E x 0 → E x 0 {\displaystyle \varphi _{c}~:~E_{x_{0}}\to E_{x_{0}}}...

を参照。 図形のいくつかの追加の写像は以下に詳述するように意味のある解釈を持つ。しかしながら、ルート系のすべての写像が図形の写像として生じるわけではない。 例えば、A2 の G2 へのルート系の包含は2つあり、1つは6つの長いルートへの、もう1つは6つの短いルートへの写像である。しかしながら、G2...

0以外において固定点を持たない素数周期の自己同型を持つリー環は冪零である。 微分リー環に線形写像として可逆なものが存在するリー環は冪零である。 上とは対称的に、微分リー環のすべての元が線形写像として冪零であるリー環は冪零である（なぜならば、随伴表現も冪零となるから）。このようなリー環は特性的...

であり、その正規化群は一般置換行列（置換行列の形をした行列だが '1' の代わりに任意の 0 でない数でよい）たちであり、ワイル群は対称群である。この場合商写像 N → N/T は（置換行列たちを経由して）分裂するので、正規化群 N はトーラスとワイル群の半直積であり、ワイル群は G...