あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はジャコブソン（英語版）にちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環について(Jacobson 1945)で研究した人である。 環のジャコブソン根基...

はジャコブソン環である。 R のすべての素イデアルは極大イデアルの共通部分である。 すべての根基イデアルは極大イデアルの共通部分である。 すべてのゴールドマンイデアルは極大である。 R の素イデアルによるすべての商環のジャコブソン根基は 0 である。 すべての商環において、冪零根基はジャコブソン根基に等しい。...

アルティン環はネーター環となる（ホプキンス-レヴィツキ-秋月）。よってアルティン環は組成列を持つ。また逆に、ネーター環であって、冪零なジャコブソン根基を持ち、ジャコブソン根基による剰余環が半単純であるような環はアルティン環である。また、可換環に限れば、アルティン環であることとクルル次元 0 のネーター環であることとは同値である。...

代数学において、半原始環（英: semiprimitive ring）またはジャコブソン半単純環 (Jacobson semisimple ring)、または短くして J-半単純環 (J-semisimple ring) とは、ジャコブソン根基が 0 であるような環のことである。これは半単純環よりも一般的なタ...

は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。 これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。4...

で導入された。次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。 根基の理論において、環は通常結合的なものを考えるが、可換である必要はなく、...

これは極大イデアルの共通部分である — は冪零根基を含まなければならない。環は R/P の冪零根基が R/P のジャコブソン根基と R のすべての素イデアル P について一致すれば、ジャコブソン環と呼ばれる。アルティン環はジャコブソン環であり、その冪零根基は環の極大冪零イデアルである。一般に、ベキ零根基...

環は極大左イデアルの共通部分が 0 であるときに、すなわちジャコブソン根基が 0 であるときに、ジャコブソン半単純（あるいは J-半単純あるいは半原始）と呼ばれる。自身の上の加群として半単純であるすべての環のジャコブソン根基は 0 であるが、ジャコブソン根基が 0 であるすべての環が自身の上の加群として半単...

がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。 A が整域であれば、A[[X]] も整域である。 f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a0 が A のジャコブソン根基に属することは同値である。 f = ∑ n = 0 ∞ a n X n {\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty...

Jacobson (1945) にあり、そのため非可換な中山の補題はジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある。後者はジャコブソン根基の理論にたくさんの応用をもっている。 R を単位元 1 をもった可換環とする。Matsumura...

は、R/J(R) が半単純でありかつ J(R) が冪零イデアルであるときに、半準素環 (semiprimary ring) と呼ばれる。ここで J(R) はジャコブソン根基である。定理の主張は、R が半準素環で M が右 R-加群ならば、3つの条件 M はネーター的 M はアルティン的 M は組成列を持つ...

を満たすことは同値である。 準正則半環は最短経路問題の一般化である algebraic path problems において現れる。 逆元 ジャコブソン根基 冪零根基 可逆元 冪零元 環の中心 冪等元 ^ a b c d Isaacs, p. 180 ^ Isaacs, p. 179 ^ a b Lam...

、左半単純環は右半単純環でもあり、逆もまた然り。それゆえ左右の区別は不要である。 代数学において、半原始環、あるいはジャコブソン半単純環、あるいは J-半単純環とは、ジャコブソン根基が 0 であるような環のことである。これは半単純環よりも一般的なタイプの環であるが、単純加群はなお環についての十分な...

数学の一分野である可換環論において、イデアル I の根基（英: radical）とは、イデアルであって、何乗かすれば I の元となるような元全体の集合である。根基イデアル（あるいは半素イデアル、被約イデアル）とは、自分自身の根基と等しいようなイデアルのことである（これは「根基...

根基は環が可換であることを仮定しない限りイデアルであるとは限らない。具体的な例として、可除環上の n次全行列環の冪零元全体の成す集合は、可除環のとり方によらずイデアルにならない。従って、非可換環の研究において冪零根基を調べることはないが、冪零根基...

T-nilpotent)（つまり、J(R) の元のすべての無限列に対して、ある n が存在して、最初の n 項の積が 0 である）、ただし J(R) は R のジャコブソン根基である。 (Bass' Theorem P) R は主右イデアルについて降鎖条件を満たす。（間違っていない。右主イデアルについてのこの条件は環が左完全であることと同値である。）...

はちょうどすべての素イデアルの共通部分である。 ジャコブソン根基と単純加群の零化 (annihilation) の特徴づけに似た特徴づけが冪零根基に対してもできる。環 R の冪零元はちょうど環 R に internal なすべての整域（すなわち素イデアル I に対して R/I の形のもの）を零化する元である。このことは冪零根基...

数学において、加群の理論において、加群の根基 (radical) は構造と分類の理論の構成物である。それは環のジャコブソン根基の一般化である。いろいろな意味でそれは M の半単純成分 soc(M) の概念の双対概念である。 R を環とし M を左 R-加群とする。M の部分加群 N は商 M/N が単純加群であるときに極大...

0 だからだ）。これは整域や可除環は非自明な冪等元をもたないことを示している。局所環も非自明な冪等元をもたないが、これは異なる理由による。環のジャコブソン根基に含まれる唯一の冪等元が 0 だからである。 環が半単純である必要十分条件はすべての右（またはすべての左）イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。...

n_{i}} 行列の代数である。再び、この積は因子の置換を除いて一意的である。 ^ 半単純環はアルティン環である。著者によっては「半単純」を環が自明なジャコブソン根基をもつことを意味するために使う。アルティン環に対しては、2つの概念は同値なので、"アルティン"はあいまいさを排除するためにここに含められている。...

加群論や環論の文脈において、環 R 上の加群 M の半単純成分 (仏: socle) 、台、底、または台座とは、M のすべての（非零）極小部分加群の和と定義される。これは加群の根基の双対概念と考えることができる。集合の記号で書けば soc(M) = Σ { N | N は M の単純部分加群 }. 同じことであるが soc(M)...

ジャコブソン根基に含まれ、（アルティン性の仮定より）ジャコブソン根基は冪零イデアルであるから、結果が従う。実は、これは右ネーター環に一般化することができる。この結果はレヴィツキの定理（英語版）として知られている。 ケーテ予想 冪零元 冪零元イデアル（英語版） 冪零根基 ジャコブソン根基 ^ a...

RAD, rad rad - ラジアン Rad, rad - イデアルの根基やジャコブソン根基などを表す。 rad - 放射線における吸収線量の古い単位「ラド」。0.01グレイ。 rad - 英語のスラングで、radicalの略語。 RAD (計算機プログラミング環境) - 計算機プログラミング環境。...

抽象代数学において、ジャコブソン予想 (Jacobson's conjecture) はネーター環のジャコブソン根基のベキの共通部分に関する環論の未解決問題である。 それは今のところネーター環の特別なタイプに対してしか証明されていない。環が一方の側でネーターでないときに予想が成り立たないことを示す例...

のすべての極大部分群（英語版）の共通部分である。ただし、群 G が極大部分群をもたない場合には、Φ(G) = G によって定義される。 フラッティーニ部分群は環論のジャコブソン根基と類似しており、直感的には「小さい元」からなる部分群と考えることができる（下記の「非生成元」による特徴づけを見よ）。Giovanni Frattini（英語版）...

数学において、半局所環 (semi-local ring) は R/J(R) が半単純環であるような環 R である。ここで J(R) は環 R のジャコブソン根基である。 この条件は R の極大右（左）イデアルが有限個であれば満たされる。さらに環 R が可換のときには逆も成り立つため、可換環に対して半局...

そして、環の加法的な構造を忘れるとモノイドになる)。 このように、前加法圏は環の一般化であるとみることができる。環論の多くの概念、例えばイデアル、ジャコブソン根基、剰余環はこの設定の下でそのまま一般化可能である。この一般化を行う場合は、前加法圏の射を「一般化された環」の「元」だと考えるとよい。この記事ではこれ以上は踏み込まないことにする。...

の任意の nil イデアル J に対して、不定元が x で係数が J に入る多項式は、多項式環 R[x] のジャコブソン根基に入る。 任意の環 R に対して、R[x] のジャコブソン根基は係数が R の upper nilradical の元であるような多項式全体からなる。 Amitsur による次の予想があった：「J...

すべての半単純環はフォン・ノイマン正則であり、左（または右）ネーター的フォン・ノイマン正則環は半単純である。すべてのフォン・ノイマン正則環はジャコブソン根基が {0} であり、したがって半原始環（"ジャコブソン半単純"(Jacobson semi-simple) とも呼ばれる。）である。 上の例を一般化して、S を環として...

= 0 である）ため、整域や可除環にはそのような冪等元は存在しない。局所環にもそのような冪等元は存在しないが、理由は異なり、環のジャコブソン根基に含まれる冪等元は（根基が冪零元イデアルゆえ） 0 だけであることによる。また、（可除ゆえに冪等元を持たない四元数体に対して）分解型四元数環 (split-quaternion...

可換環論において、ザリスキ環 (Zariski ring) は可換ネーター位相環 A であってその位相がジャコブソン根基、すべての極大イデアルの共通部分、に含まれるイデアル m によって定義されているものである。それらは Oscar Zariski (1946) によって今では幾分違うことを意味する「半局所環」(semi-local...