解析学におけるリプシッツ連続性（リプシッツれんぞくせい、英: Lipschitz continuity）は、ルドルフ・リプシッツに名を因む、函数のより強い形の一様連続性である。直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を...

一様連続性の特別な場合として、ヘルダー連続性の概念がある。一変数実関数 f の値 f(x) と f(y) の差が x と y の差のべき乗に比例するある量で抑えられるとき f はヘルダー連続であるという。 ヘルダー連続性のさらに特別な場合として、リプシッツ連続性の概念がある。一変数実関数...

ルドルフ・オットー・ジギスムント・リプシッツ(独:Rudolf Otto Sigismund Lipschitz、1832年5月14日 - 1903年10月7日)は、ドイツの数学者。リプシッツ連続条件に名前を付けたことで知られているが、数理解析学や微分幾何学のほか、数論、抽象代数学、古典力学にも貢献した。 ルドルフ・リプシッツ...

リプシッツに因む。 次の初期値問題を考える。 y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}} 関数  f  が y に一様にリプシッツ連続（リプシッツ定数が...

Stuttgart: B. G. Teubner Verlag, ISBN 3-519-12200-6。 MR0423277 連続性の関連概念 一様連続 ヘルダー連続 リプシッツ連続 絶対連続 同程度連続 連続関数によって定義されるもの 弧状連結 ホモトピー Topology without tears von Sidney...

が成立する。h をゼロへと収束させることにより、L の v における連続性が示される。また、この定数 M は v に依存しないため、L は実際には一様連続（実際にはさらに強く、リプシッツ連続）である。 逆を考える。L のゼロにおける連続性により、 ‖ L ( h ) ‖ Y = ‖ L ( h ) −...

連続写像を射とする圏（これは位相空間の圏の充満部分圏）や一様連続写像を射とする圏（これは一様空間の圏（英語版）の充満部分圏）あるいはリプシッツ連続写像や準リプシッツ写像 (quasi-Lipschitz mapping) を射とする圏などが挙げられる。非拡大写像は一様連続かつ（リプシッツ定数高々...

るから、事態はより複雑になる。射として一様連続写像の全体や連続写像の全体を取れば、確かに離散位相空間は自由だが、これでは一様構造や位相構造について考えただけで、距離構造については何も言っていないに等しい。距離構造についてより関連のある圏は、射をリプシッツ連続写像や弱縮小写像に限ればよいが、これらの圏...

数学においてリプシッツ領域（リプシッツりょういき、英: Lipschitz domain）あるいはリプシッツ境界を持つ領域とは、局所的にはリプシッツ連続な函数のグラフと見なすことが出来る意味で「十分に正則」な境界を持つユークリッド空間内のある領域のことを言う。 ドイツの数学者であるルドルフ・リプシッツの名にちなむ。...

ペアノの定理と比べてより多くの仮定を必要とし、結果としてより多くの帰結を与える。すなわち、ペアノの定理においては連続性のみが必要とされていたが、ピカール・リンデレフの定理ではリプシッツ連続性をも必要とする一方で、その結果としては解の存在のみならず一意性までも保証される。例として、領域 [ 0 , 1...

の場合はリプシッツ条件を意味し、α = 0 の場合は単純に函数が有界であることを意味する。この条件の名は、オットー・ヘルダーにちなむ。 実数直線のコンパクトな部分集合上の函数に対して、0 < α ≤ 1 のときは、次の包含関係が成り立つ。 連続的微分可能 ⊆リプシッツ連続 ⊆ α ヘルダー連続 ⊆ 一様連続...

ポアンカレ・レフシェッツ双対定理、レフシェッツの不動点定理、レフシェッツの跡公式、レフシェッツペンシル等に名前を残す。 1964年にはアメリカ国家科学賞を、1970年にはスティール賞を受賞した。 解析学のリプシッツ連続で知られるルドルフ・リプシッツ（Rudolf Lipschitz）や、『ランダウ＝リフシッツ...

の存在すること、として定められる。 絶対連続な写像は一様連続性を満たし、特に連続写像になる。また、リプシッツ連続な写像は絶対連続になる。 絶対連続な関数の和や差は再び絶対連続になり、有界閉区間上の絶対連続関数の積は絶対連続になる。また、有界閉区間上 0 を取らない絶対連続関数の逆数関数は再び絶対連続になる。 実数値絶対連続関数 f...

ラプラス変換 ラマヌジャンのテータ関数 ラムゼーの定理 ラングレーの問題 ランダウの記号 リー群 リー代数 リース空間 リスティングの結び目 リプシッツ連続 リー微分 リーブの定理 リーマン幾何学 リーマン曲率テンソル リーマン積分 リーマン・ロッホの定理 リーマン予想 リウヴィルの定理 リッチテンソル...

での数値解である。この公式を導出するために、解の存在性と滑らかさはピカール・リンデレフの定理より保証されると想定する（特に、f(t, y) はリプシッツ連続である）。上記の初期値問題の厳密解（ときには解析解）を y にし、y(t + h) のテイラー展開を考える： y ( t + h ) = y (...

の部分列が存在する。 さらに、次の結果も示される。 { fn } が [a, b] 上の実数値函数の一様有界列で、各 f は同じリプシッツ定数 K によってリプシッツ連続であるとする。すなわち、 | f n ( x ) − f n ( y ) | ≤ K | x − y | {\displaystyle...

{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\supset X\to \mathbb {R} ^{n}} を微分可能関数で局所的にリプシッツ連続であるとする。つまり、いかなる開集合 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} に対しても定数 L > 0 {\displaystyle...

内のある開部分集合とし、関数 f : U → Rm はリプシッツ連続であるとする。このとき、f は U 内のほとんど至る所でフレシェ微分可能である。すなわち、f が微分可能ではないような U 内の点からなる集合は、そのルベーグ測度がゼロである。 あるユークリッド空間から任意の距離空間へのリプシッツ...

一意性は計算機を用いることで示されることもある。 ピカール・リンデレフの定理は、t0 および y0 を含む領域において f が連続であり、変数 y について f がリプシッツ条件を満足する場合に、初期値問題の解が t0 を含むある区間で一意に存在することを保証する。定理の証明は、与えられた初期値問題...

部分問題を解けば、解は自動的に許容範囲に収まる。 フランク・ウルフのアルゴリズムの収束性は一般には劣線形である。勾配がなんらかのノルムについてリプシッツ連続であれば、k 回の反復の後の目的関数の値と最適値との誤差は  O ( 1 / k ) {\displaystyle O(1/k)}...

{Length} (\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=t_{2}-t_{1}} が成り立つことを言う。γ: [a, b] → X がリプシッツ連続函数ならば、曲線 γ は自動的に求長可能である。さらに言えば、このとき γ の速さ (speed) または距離微分が Speed γ ⁡ ( t...

z)| ≤ d(y, z) ということになる。これはノルム ‖ • ‖ や距離函数 d(x, •) がリプシッツ定数 1 のリプシッツ連続函数となることを示すもので、したがって特に一様連続である。 逆三角不等式は通常の三角不等式を用いて証明できる: ‖ x ‖ = ‖ ( x − y ) + y...

微分可能（びぶんかのう） 微分 微分可能関数 正則関数 半微分可能性 微分可能条件 ラーデマッヘルの定理 リプシッツ条件 ヘルダー条件 連続 (数学) このページは数学の曖昧さ回避のためのページです。一つの語句が複数の意味・職能を有する場合の水先案内のために、異なる用法を一覧にしてあります。お探し...

{\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y)} が成り立つ。これより条件の弱い（広義の）相似性が、たとえば写像 f が双リプシッツ連続で、スカラー r が（2点を十分近づける）極限における縮小因子として lim d ( f ( x ) , f ( y ) ) d ( x , y...

\rho \}} で f は連続で有界、すなわちある M が存在して ‖ f ( t , x ) ‖ ≤ M {\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {x}})\|\leq M} かつ、 x についてのリプシッツ条件 ‖ f ( t , x...

x\right]\\&\neq b^{-1}w(x)\end{aligned}}} したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。 ワイエルシュトラス関数のリプシッツ定数は無限大である。 ブノワ・マンデルブロは、ワイエルシュトラス関数を一般化した次のワイエルシュトラス・マンデルブロ関数 (英:Weierstrass-Mandelbrot...

ッド空間上で定義され任意の距離空間に値を取るようなリプシッツ連続関数に対する、微分の概念の一般化である。この微分の定義のもとで、距離空間に値を取るリプシッツ関数へと、ラーデマッヘルの定理を一般化することが出来る。 ラーデマッヘルの定理では、リプシッツ写像 f : Rn → Rm は Rn...

連続函数を連続函数に写す適切な積分作用素の不動点として表現される。その積分作用素が唯一つの不動点を持つことを示すためにバナッハの不動点定理が用いられる。 バナッハの不動点定理の一つの帰結として、恒等写像の小さなリプシッツ摂動は二重リプシッツ位相同型写像である、というものが挙げられる。Ω...

分積分学の歴史（英語版）の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば単調写像やリプシッツ連続などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にワイエルシュトラスは、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた（ワイ...

\|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}} が成り立つ。ここで || · || は任意の行列ノルムである。ここから、指数写像はコンパクト部分集合 Mn(C) 上で連続かつリプシッツ連続であることが従う。 写像 t ↦ e t X ( t ∈ R ) {\displaystyle t\mapsto e^{tX}\quad (t\in...

はこの内積に関してヒルベルト空間となる。 簡単な記述を持つほかのソボレフ空間としては、例えば開区間 (0, 1) 上で絶対連続な函数全体の成す空間 W1,1(0, 1) や任意の区間 I 上でリプシッツ連続な函数全体の成す空間 W1,∞(I) などが挙げられる。 空間 Wk,∞...