光滑函数（英語：Smooth function）在数学中特指无穷可导的函数，不存在尖点，也就是说所有的有限阶导数都存在。例如，指数函数就是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。 若一函数是连续的，则称其为 C 0 {\displaystyle C^{0}} 函数；若函数存在导函数，且其導函數連續，則稱為连续可导，記为...

根据唯一性定理，虽然隆起函数都是光滑的，但除非它们在D上取值一致为0，否之它们都不是解析函数。隆起函数经常被用作柔化函数，光滑隔断函数（smooth cutoff function），以及用于1的分割（英语：partition of unity）（partition of unity）。在数学分析中，隆起函数...

在数学中，柔化函数（英語：mollifier）是某种特殊的光滑函数。在分布理论中，柔化函数和某个不光滑的目标函数（可以是广义的函数）的卷积将是光滑的，因此通过取一系列的柔化函数，我们可以以卷积的方式来“逼近”目标函数。直觉上，给定某个不光滑的函数，它和柔化函数卷积之后变得“柔滑”了。比如说一个有“棱角”的函数...

复解析函数与全纯函数等价，因此也更容易鉴别。 解析函數的和、積與复合仍是解析函數（惟合成時須留意定義域的問題）。 若解析函數在一個開集上非零，則它在該開集上的倒數仍為解析函數。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。 凡解析函數皆屬光滑函數，即无穷可微。逆命题对实解析函数...

速降函数空间（Schwartz space）是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f(X)趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对 S...

数学上，广义函数（generalized function）或是“分布”，是将函数的概念一般化得到的对象。得到承认的理论不止一种。广义函数在使得不连续函数表现得更像光滑函数的方面很有用，并且（在极限情况下）可以表述像点电荷这类的物理现象。它们广泛应用于物理和工程领域。...

可微分函数（英語：differentiable function）在微积分学中是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。 一般来说，若X0是函数...

{\displaystyle n\geq 1} ）；若一函数对于所有 n {\displaystyle n} 都属于 C n {\displaystyle C^{n}} 函数，则称其为 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 函数，也称光滑函数。 ^ 此處H是單位階躍函數。 ^...

J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)} 。 反过来，假设φ是一个M上在p的一个邻域内的光滑实值函数。因为每个光滑函数有一个局部坐标表达式，我们可以将φ表达为坐标的函数。精确地讲，假设Q是M中接近 p的一点，则 φ ( Q ) = ψ ( x 1 ( Q ) , … , x n...

斯引理。关于推广，见莫尔斯–帕莱引理）。 流形M上的光滑实值函数若无退化临界点，则称作莫尔斯函数。莫尔斯理论的基本结果表明，几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上，莫尔斯函数形成了 C 2 {\displaystyle C^{2}} 拓扑中所有光滑函数 M → R {\displaystyle M\to...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...

_{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .} 从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。 光滑映射 φ 的微分以显而易见的方式诱导了从 M 的切丛到 N 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 dφ...

轉換之類效率較差的演算法。 5-光滑數〈或稱為正規數〉在巴比倫數學中有重要的角色，在音樂理論中也很重要。有一個函數程式語言的問題就是要產生正規數。 密码学中也有應用光滑數。雖然大部份的密码学都會用到密码分析（已知最快的因數分解演算法），但VSH雜湊函數利用光滑數來取得可证安全加密散列函数（英语：Provably...

{\displaystyle \Gamma (z)} 是亚纯函数，而 1 Γ ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}} 是全纯函数。 Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解： 『找到一個光滑曲線連接那些由 y = ( x − 1 ) ! {\displaystyle...

上一个光滑函数。则 f 通过 φ 的拉回是 M 上的光滑函数 φ*f，定义为 (φ*f)(x) = f(φ(x))。类似地，如果 f 是 N 中开集 U 上的光滑函数，则相同的公式定义了 M 中开集 φ-1(U) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 N 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 M 上光滑函数层中）的一个态射。...

+a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)} 其中 u 和 r 是 t 的适当的光滑函数。L 是相关函数空间上定义的，将 u 变换为 r 的算子。这种方程可以用于以强迫函数 r 为变量约束输出函数 u 。传递函数写成算子 F [ r ] = u {\displaystyle F[r]=u} 的形式，是...

在数学学科数值分析中，样条（spline）是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做齿函数。后来因为工程学术语中放样一词而得名。 在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶...

整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 Rn 替换为任何（仿紧）光滑流形。 首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。 函数 φ {\displaystyle \varphi } : U →...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

在微积分学中 解析函数的性质要好于更一般的光滑函数； 光滑函数的性质要好于更一般的可微函数； 连续可微函数的性质要好于更一般的连续函数。函数的可微阶数越高性质就越好。 连续函数的性质要好于更一般的黎曼可积函数； 黎曼可积函数的性质要好于更一般的勒贝格可积函数； 勒贝格可积函数的性质要好于一般函数。 在拓扑学中，连续函数的性质要好于不连续的函数...

弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号. 由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的. 作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程. ∂ u...

\alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,} 这里 fi 是光滑函数。注意这里使用上指标，不要与幂混淆。从这种观点来看，一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场。...

{R} ^{n}} 中开集上的函数。 u {\displaystyle u} 为方程 Δ u = f {\displaystyle \Delta u=f} 的一个分布解。若 f {\displaystyle f} 是光滑函数，则 u {\displaystyle u} 也是光滑的。特别地，若 u {\displaystyle...

凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）为凸集的一类函数。 如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有 f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≥ t f ( x ) + ( 1 − t...

x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle...

在数学中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數...

一个经典结果是，紧集上的下半连续函数必有最小值。只要函数有下界，变分分析结果（如艾克兰德变分原理）就允许我们将这结果推广到非紧集上的下半连续函数，代价是给函数增加一个小扰动。 费马引理指出，若可微函数有最小值，且是定义域的内点，则在该点的导数必为零。对于光滑函数必须再其他光滑函数...

函数总是可以解释为一个哈密顿函数；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。 余切丛的光滑截面是微分1-形式。 设M×M是M与自己的笛卡尔积。对角映射Δ将M中的点p映到M×M中的点 (p,p)。像 Δ称为对角线。设 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是M上光滑函数芽的层。那么商层...

中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。 贝塞尔函數也被稱為柱諧函數、圓柱函數或圓柱諧波，因為他們是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中被發現的。 贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振...

或者，在某方面來說，這個點破壞了該數學物件的整體一致性。這個點被稱為病態的，是良态的反義。一般的例子是： 光滑的曲線或平面（光滑函数）上的尖點，它破壞了該函數的可微性。 連續的曲線中一個斷掉的點，它破壞了該曲線的連續性。 就可微性來說： 曲線 y 2 = x {\displaystyle...

函数u+iv可以被看作一种“复位势场”，其中u是一个位势函数，而v是流函数。 调和函数总是无穷次可导（光滑）的。事实上，调和函数是实解析函数的一种。 调和函数满足以下的极大值定理：如果K是U的一个紧子集，那么f在K上诱导的函数...