常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不過「数值积分」主要是指积分的计算。 很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。...

偏微分方程数值方法是数值分析的一个分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的数值解。 一般来说，对于双曲型方程、 抛物型方程或椭圆方程都有专门的数值方法。   在这种方法中，函数由它们在某些网格点处的值表示，并通过这些值的差分来近似导数。 有限元法 (FEM)是一种数值技术，用于寻找微分方程...

数值分析軟體中重要的一部份。 数值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，可針對一些問題得到近似但夠精確的結果。以下是一些會用利用数值分析處理的問題： 數值天氣預報中會用到許多先進的数值分析方法。 計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。...

在 数值分析 和 计算科学， 梯形法则 是一个 求解常微分方程的数值方法。 该方法由 梯形公式 推导出，用于计算积分。 梯形法则是一个隐式的二阶的方法，这可以被视为一个 龙格–库塔法 和 线性多步法. 假设我们欲求解如下微分方程 y ′ = f ( t , y ) . {\displaystyle y'=f(t...

数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。 微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關研究的方式也會隨之不同。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知數是單一自變數的函數。最簡單的常微分方程...

在数学和计算机科学中，欧拉方法（英語：Euler method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。...

微分方程等另外一些场合中，则需要另外的数值稳定性定义。 在数值常微分方程中，有不同的数值稳定性概念，如A稳定性等。它们通常与动力系统中的李雅普诺夫稳定性等稳定性概念相关。在解刚性方程的时候稳定方法的使用很重要。 在数值偏微分方程中有另外一种数值稳定性的定义。如果随着步长逐渐趋近于零，偏微分方程...

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s {\displaystyle...

据挖掘、生物信息学、流体动力学和其他很多领域。矩阵方法尤其用于有限差分法、有限元法和微分方程建模。尼克·特雷費森（英语：Nick Trefethen）和大衛·鮑三世（David Bau III）注意到数值线性代数的广泛应用，认为它“同微积分和微分方程一样是数学科学的基础”，尽管是个相对较小的领域。由...

微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程...

Heun法（又稱改进的或修改過的欧拉方法、顯式的梯形规则）是数学和计算机科学中求解給定初值常微分方程的数值方法，以德國數學家卡爾·休恩（英语：Karl Heun）命名。可被视作把欧拉方法扩展为两级二阶龙格－库塔法。 运用Heun法计算初值问题数值的解可分成以下步骤： y ′ ( t ) = f (...

顯式方法（explicit method）和隱式方法（implicit methods）是数值分析中計算以時間為自變數的常微分方程和偏微分方程的數值近似法，也是偏微分方程中计算机模拟會使用的方法。顯式方法會用系統目前的狀態來計算下一個時間的狀態，隱式方法會將系統目前狀態和下一個時間的狀態以方程式的...

一些有效的解析法解偏微分方程方法： 通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。 沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。 利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。...

解集通常被称为谱. 与常微分方程不同, 时滞微分方程的特征方程含有指数, 具有无限个特征值, 使得谱分析变得很困难, 但是谱对于 DDE 的分析仍然具有一些很好的性质. 例如, 虽然具有无限个特征值, 但是只有有限个特征值位于复平面的右侧. 特征方程是一个非线性特征问题, 有许多计算谱的数值方法. 少数的特殊情况可以显式地求解特征方程...

在数值分析中，數值積分（英語：Numerical integration）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...

伯努利微分方程是形式如 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} 的常微分方程。 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\...

在数值分析中，预估-校正方法是一类求解常微分方程的算法 - 找到一个未知的函数以满足一定微分方程。 所有这类算法以如下两个步骤进行： 首先，"预估"步，基于之前若干步的一组函数值及导数值拟合出的函数出发，进而外插此函数在后续点的值。 其次，"校正"步，通过使用函数的 预估 值和 另一种方法...

全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。 给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程 I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 , {\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d}...

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 假若，一個常微分方程可以寫為 d d x f ( x ) = g...

Residuals)的一种，可用于解线性以及非线性常微分方程组、偏微分方程组的初值和边值问题。该方法特别适合求解非线性问题，与传统差分法相比，具有计算精度高和稳定性好等优点。 所谓加权余项法，是将微分方程的未知解展开成一组具有可调常数的试验函数，选择合适的常数值，使得试验函数充分接近于微分方程...

努梅罗夫方法属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由 俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。 可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为 ( d 2 d x 2 + f ( x )...

在数学中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式： f ( x 0 + h ) = f ( x 0 )...

微分方程组或积分方程组数值解的數值方法。 在解偏微分方程的过程中，主要难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程，并且该过程还需要保持数值稳定性。目前有许多处理的方法，他们各有利弊。当区域改变时（就像一个边界可变的固体），当需要的精确度在整个区域上变化，或者当解缺少光滑性时，有限元方法...

历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。 贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西首先地通...

欧拉-丸山法是用数值求解随机微分方程（SDE）的方法，是欧拉法求解常微分方程（ODE）在随机微分方程上的推广。此方法以欧拉和日本数学家丸山仪四郎命名。 考虑如下随机微分方程（见伊藤积分） d X t = a ( X t ) d t + b ( X t ) d W t , {\displaystyle...

數值微分是數值方法中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數導數的演算法。 最簡單的方式是使用有限差分近似。 簡單的二點估計法是計算經過(x,f(x))及鄰近點(x+h,f(x+h))二點形成割線的斜率選擇一個小的數值h，表示x的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為 f ( x + h ) −...

隨機微分方程（英語：SDE, stochastic differential equation），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，...

非线性偏微分方程的在物理学、气动力学、流体力学、大气物理、海洋物理、爆炸物理、化学、生理学、生物学、生态学等领域都有重要的应用。非线性偏微分方程的研究，是当前微分方程研究的中心。求解非线性偏微分方程比求解线性偏微分方程，难度大的多，大多数非线性偏微分方程只能依靠数值...

数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员約翰·克蘭克和菲利斯·尼科爾森在文章中对该方法进行了简要介绍， 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中 。 洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。...

微分方程，并提出一种强格式的配点方法。Kansa所提出的径向基函数配点方法是真正的无网格方法，具有易于编程、数学形式简单、方便掌握等优点。该方法提出后不久，被学术界称之为Kansa方法(Kansa method)。 由于径向基函数是采用无需考虑维数的一维欧几里德距离作为变量，Kansa方法...

在常微分方程的数值计算中，几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。 可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。 设摆锤质量为 m = 1 {\displaystyle m=1} ，摆杆长度为 ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} 。设重力加速度为 g = 1 {\displaystyle...