在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列（英語：Cauchy sequence），也称为基本列，是指一个元素随着序数的增加而愈发靠近的数列，以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。 柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 柯西...

在数学和拓扑学中，以法国数学家柯西命名的柯西判据是判断度量空间中数列收敛性的一个依据。 满足这个判据的数列称为柯西序列。 当空间是完备空间的时候，满足柯西判据等价于数列收敛。 若度量空间中的一个数列满足柯西判据： lim n → ∞ x n sup p , q > n d ( s p , s q )...

柯西序列都收敛在该空间之内。 有理数空间不是完备的，因为 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不在有理数空间内。 实数空间是完备的 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2...

: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄语）.  （俄文） 柯西序列 网 (数学)（序列的推广） 序列空间 数列 整數數列線上大全 查看维基词典中的词条「序列」。 查看维基词典中的词条「enumerate」或「collection」。 Hazewinkel,...

在数学中，序列的子序列极限是某个它的子序列的极限。它同于聚集点。 某个序列的所有子序列极限的集合的上确界叫做上极限，类似的，这种集合的下确界叫做下极限。详情参见上极限和下极限。 可以证明如果 (X,d) 是度量空间，并且有柯西序列使得有子序列收敛于某个 x，则这个序列也会聚于 x。...

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希...

y_{n}).} 運算得到的序列依然會是柯西序列。 稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在 R {\displaystyle R} 上定義了一個等價關係。以 [ ( x n ) ] {\displaystyle [(x_{n})]} 表示包含序列 ( x n ) {\displaystyle...

(f(x_{\alpha }))} 亦然。 濾子的理論也提供了在一般拓撲空間內有關收斂的定義。 在一致空間（例如度量空間）中，可以將柯西序列的定義推廣為柯西網，由此導出柯西空間的定義。网 (xα)是柯西网，如果对于所有周围V存在γ使得对于所有α, β ≥ γ，(xα, xβ)是V的成员。 E. H. Moore and...

柯西-尤拉方程是形式如 x 2 y ″ + b x y ′ + c y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0} （其中 b , c {\displaystyle b,c} 是常數）的二階變係數常微分方程。 觀察可知 y = x r {\displaystyle y=x^{r}}...

下面是证明的 "⇒" 部分的梗概，依据于讓·迪厄多內，在一般度量空间的上下文中: 明显的任何紧致集合 E 都是完全有界的。 设 (xn) 是在 E 中任意柯西序列；并设 Fn 是在 E 中集合 { xk : k ≥ n } 的闭包并且 Un := E − Fn。如果所有 Fn 的交集为空，则 (Un) 将是...

要说滤子基B在X上是柯西的，就意味着对于每个实数ε>0，有B0 ∈ B使得B0的度量直径小于ε。 选取 (xn)是度量空间X中的序列。(xn)是柯西序列，当且仅当形如{ {xn,xn+1,...} : n ∈ {1,2,3,...} }的滤子基是柯西的。 给定一致空间X，在X上的滤子F被称为柯西...

{\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }} 对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。 AC ω {\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }} 是弱形式的选择公理（AC），它声称非空集合的“所...

在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。 一般而言，一个单调递减、非负的实数序列  f ( n ) {\displaystyle f(n)} 所对应的级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \displaystyle \sum...

\infty }x_{n}=c} ，就滿足序列 { f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} 是一个柯西序列。连续函数将收敛序列变成柯西序列。 閉集關於連續函數的原像為閉集 開集關於連續函數的原像為開集 緊緻集透過連續函數的像是緊緻集 連通集透過連續函數的像是連通集...

证明： 给定一个由E′中元素构成的柯西序列： ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，其中每一个 f n {\displaystyle f_{n}} 都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知， ∀ ϵ > 0 , ∃ N...

是緊緻的，則反向的陳述亦會成立。（海涅－康托爾定理） 一致連續映射會將 M1 內的柯西序列轉換成 M2 內的柯西序列。對於連續映射，該陳述則不一定會成立；例如，一個將開區間 (0,1) 滿射至實數線的連續映射即會將柯西序列轉換成無界的序列。 給定一數 K > 0，映射 ƒ : M1 → M2 為利普希茨連續，若...

s n } n ∈ N {\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 { s n } n ∈ N {\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} 中的有限個成員。...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换...

在泛函分析中，巴拿赫空間（英語：Banach space）是完備賦範向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。其完备性体现在，空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的極限。 巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由...

类和第三类是阿基米德绝对赋值（阿基米德素点）和非阿基米德绝对赋值（非阿基米德素点）（或超度量），在一个素点完备F后，出现两种情况，一个柯西序列，一个空序列，也就是序列xn)n ∈ N such that |xn，当n趋于无穷，可以证明这又是一个域，在给定素点的F的完备域。 例如F=...

等距同构经常用于将一个空间嵌入到另一空间的构造中。例如，测度空间M的完备化即涉及从M到M' 的等距同构，这里M' 是M上柯西序列所构成的空间关于“距离为零”的等价关系的商集。这样，原空间M就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间M。...

不等式(*)表示，如 A u n {\displaystyle Au_{n}} 是柯西序列，那麼 u n {\displaystyle u_{n}} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 內的柯西序列。由 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的完備性，...

。一個初步分析被發表於2001年2月，科學家們正努力在2003年完成人類基因組序列的參考版本，恰逢詹姆斯·沃森（James D. Watson）和弗朗西斯·克里克（Francis Crick）發表DNA結構50週年。 在国家人类基因组研究所任職期間的另一項主要活動是創建人類基因組的單倍型圖。...

{\displaystyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} 在上面的内积诱导的拓扑中是不收敛于任何一个连续函数的柯西序列，因为它的极限不是连续的函数。 希尔伯特算子，协方差算子 S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer...

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集合就不是完备空间。例如， ( 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , 1.41421 , … ) {\displaystyle (1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,\ldots )} 是有理數的柯西序列...

柯西函數方程是以下的函數方程： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )   {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ } 此方程的解被稱為加性函數。 在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 f ( x ) = c x   {\displaystyle...

趋向于0。这表明 ( S n ) n = 1 , 2 , … {\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }} 是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此 ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} 绝对收敛。 审敛法 比值审敛法 根值审敛法 交错级数审敛法...

b ∈ B 使得 a ⊃ b。 舉例來說，若 E 是一個群，A 可以是有限索引的正规子群所組成的集合。然後，A 的共尾子集可以被用來定義這個群的柯西序列和完備性。 餘有限 Lang, Serge. Algebra (3rd ed., reprint w/ corr.). Addison-Wesley...

<\infty .\,} 可以证明，平方可积函数在上述定义的内积导出的度量下构成一个完备度量空间。完备度量空间也被称为柯西空间，因为在这样的度量空间中，数列收敛当且仅当其为柯西序列。由一个范数导出的度量下的完备空间是巴拿赫空间。因此，平方可积函数的空间是由该范数导出的度量下的巴拿赫空间，而范数又是...

如果（xn）和（yn）是两个柯西数列，那么如果数列（xn − yn）有极限0，这两个数列便定义为相等的。把小数b0.b1b2b3…拆开来，便得到了一个有理数序列，它是柯西序列；这个序列对应的实数被定义为这个小数的值。所以，在这种形式中，这时的任务就是要证明，有理数序列 ( 1 − 0 , 1 − 9...

以下为联邦军在豌豆岭战役中的部队和指挥官战斗序列，以及伤亡情况。 亡 = 阵亡 伤 = 受伤 俘 = 被俘 塞缪尔·R·柯蒂斯准将 弗朗茨·西格尔准将 Shea & Hess 1992，第331–332頁. Shea & Hess 1992，第332–334頁. Shea, William L.;...