数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足： 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立； 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v...

由达布定理，辛流形局部同构于标准辛向量空间，因此只有全局（拓扑）不变量。研究辛流形全局性质的“辛拓扑”常与“辛几何”交替使用。 辛几何定义在光滑偶数维微分流形上，其上定义了几何对象，即辛2形式，可以测量空间中2维物体的大小。辛形式之于辛几何中类似于度量张量之于黎曼几何，度量张量测量长度与角度，而辛形式测量有向面积。...

数学中的辛空间，可能指：辛流形或者辛向量空间，后者是前者的一个特例。...

F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。 抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。 當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n...

向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。 辛流形来自经典力学，是封闭系统相空间的推广。哈密顿方程可从微分方程组推导系统的时间演化，辛...

是平凡的，故所有闭形式是恰当的，所以辛向量场是哈密顿的。这就是说，一个辛向量场是哈密顿的阻碍在于 H 1 ( M ) {\displaystyle H^{1}(M)} 。特别地，单连通空间上的辛向量场是哈密顿的。 两个辛向量场的李括号是哈密顿的，从而辛向量集合与哈密顿向量场集合各自形成一个李代数。...

由定义，辛流形上任何光滑函数给出一个哈密顿向量场，且这样向量场的集合组成辛向量场李代数的一个子代数。一个辛向量场的流的积分是一个辛同胚。因为辛同胚保持辛 2-形式，从而也保持辛体积，于是有哈密顿力学中的刘维尔定理。由哈密顿向量场生成的辛同胚也成为哈密顿辛同胚。 因为 {H,H} = XH(H) = 0， 哈密顿向量场的流也保持...

散（sàn）度（divergence）是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。 举例来说，考虑空间中的静电场，其空间...

在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度（方向和大小）所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以 所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间...

向量分析，或称为向量微積分（英語：Vector calculus）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。...

上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量。 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵。在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是弗雷歇导数。 假設有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场 ϕ {\displaystyle...

\Omega } ，便回到先前的定義： M T Ω M = Ω {\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega } 。 辛標記 辛向量空間 辛群 辛表示（英语：Symplectic representation） 正交矩陣 幺正矩陣 哈密頓力學 正則變換 Symplectic matrix...

空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。 该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流导出的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。...

在数学领域裡，算子（operator）有别于物理的算符，是一種映射，一个向量空间的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在...

向量空间（或稱線性空間） 赋范向量空间（或稱線性賦范空間） 拓扑向量空间 内积空间 度量空间 测度空间 完備度量空间 欧几里得空间 希尔伯特空间 射影空间 函数空间 樣本空间 概率空间 代数空间 贝尔空间 伯格曼空间 伯克维奇空间 贝索夫空间 卡拉比–丘空间 康托尔空间 柯西空间 丘空间 闭包空间 共形空间 艾伦伯格–麦克莱恩空间...

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。...

\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy} 。 更一般性地，海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如，令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律 ( v 1 , t...

空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。换一种表述，就是共轭相空间里，一个哈密顿系统的相体积不可压缩。 它以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名。这也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。 刘维尔方程描述了相空间...

在線性代數當中，斜漢彌爾頓矩陣是一類與在辛向量空间上的反對稱双线性映射相對應的矩陣。 設V為一個向量空間，在其上有著辛形式 Ω {\displaystyle \Omega } 。則如此的空間其維度必然是偶數維的。在此空間中，當「 x , y ↦ Ω ( A ( x ) , y ) {\displaystyle...

限制到ξ 上时是非退化的。这表示ξ 是一个该流形上的辛丛。因为辛空间是偶数维的，切触流形必须是奇数维的。 作为基本例子，考虑R3，使用坐标(x, y, z), 1-形式 dz-ydx 就是一个切触形式. 在一点(x,y,z) 的切触平面ξ由下列向量张成 X1 = ∂y 和 X2 = ∂x+y∂z....

Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积...

在向量分析中，旋度（英語：curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。 旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量...

微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；...

manifold） Quaternion-Kähler manifold（英语：Quaternion-Kähler manifold） 辛几何 辛向量空间 辛流形 辛几何 辛同胚 切触几何 切触几何 哈密頓系統 Sasakian manifold（英语：Sasakian manifold） 泊松流形 莫比乌斯变换...

involution），并有关于f和g取泊松括号的运算交换。 泊松括號是反交换的，也滿足雅可比恒等式。这使得辛流形上的光滑函数空间成为無限維的李代數，以泊松括號为李括號。相应的李群是辛流形的辛同胚群（也稱為正則變換）。 给定一个可微切丛上的向量场X，令 P X {\displaystyle P_{X}}...

是导子。泊松代数自然出现于哈密顿力学，也是量子群研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做泊松流形，辛流形与泊松-李群是其特列。此代数的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。 一个泊松代数是域 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积， ⋅ {\displaystyle \cdot } 与 { , }，满足如下性质：...

数学上，曲面积分，也称为面积分（英語：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。 考虑定义在曲面S上的實函數...

得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。 n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。...

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量...

交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTv。如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，则 v T v = ( Q v ) T ( Q v ) = v T Q T Q v {\displaystyle...

伯格-威滕不变量和瓦法-威滕不变量等。唐纳森、乌伦贝克和丘成桐关于杨-米尔斯联络与稳定向量丛的小林-希钦对应研究实现了与代数几何的紧密联系。奈杰尔·希钦与卡洛斯·辛普森在希格斯丛方面的研究表明，规范理论产生的模空间可能具有奇特的几何结构，如超卡勒流形，以及通过希钦系统和可积系统的联系，实现了与弦论和...