• 微积分学的逐次积分(英:iterated integral)是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数,重复进行多次积分而得到的积分。例如,对于二变量函数f ( x, y )的二重积分, 先将y视为常数,并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ,得到关于y的函数,进一步对y进行积分,这就得到了逐次积分。...
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  • 富比尼定理 (category 积分学)
    富比尼定理(英語:Fubini's theorem)是数学分析中有关重积分的一个定理,由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下,不仅能够用逐次积分计算双重积分,而且交换逐次积分的顺序时,积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909...
    2 KB (407 words) - 00:30, 27 October 2023
  • 廣義積分,又称为反常积分、异常积分(英語:Improper integral ),是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類,第一類又稱為無窮積分,指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分,指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分是無窮積分,指積分區間的上限或下限中含有無窮...
    8 KB (1,776 words) - 09:01, 9 November 2023
  • 分部積分法又稱作部分積分法(英語:Integration by parts),是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式,转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假設 h ( x )   {\displaystyle h(x)\ } 與 k...
    8 KB (1,957 words) - 04:49, 4 April 2023
  • 在数值分析中,數值積分(英語:Numerical integration)是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中,给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义,用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备,数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。...
    6 KB (1,408 words) - 23:49, 11 June 2023
  • 在数学中,线积分(英語:Line integral)是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间,而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時,积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度,在被积分函数是向量函数时,積分值是積分...
    9 KB (1,724 words) - 10:57, 29 April 2024
  • 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂爾吉斯积分 數值積分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分,不定积分的介绍参见不定积分条目,无说明的情况下,下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说,路径积分是多元函数的积分积分区间不再是一条线段,而是一条平面上或空间中的曲线段;在面积积分中,曲线被三维空间中的一个曲面代替。...
    34 KB (6,981 words) - 23:04, 7 September 2024
  • {\displaystyle x_{i}-x_{i+1}} ,粗略地说,这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。 不定积分 积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂尔杰斯积分 數值積分 达布积分 梯形公式 中點法(英语:Midpoint method) Shilov, G. E., and...
    13 KB (2,840 words) - 08:44, 5 June 2023
  • 在实分析和在其它许多数学领域中勒貝格積分拥有一席重要的地位。勒貝格積分是以昂利·勒貝格命名的,他于1904年引入了这个积分定义。 今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是对于一个在一般測度空間(的子集合)上的函数积分,在這情況下其測度不必然是勒貝格測度。狭义则是指对于勒贝...
    21 KB (4,698 words) - 10:08, 29 August 2023
  • 积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程,与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程: f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x...
    2 KB (361 words) - 00:57, 16 September 2020
  • 由于列表比较长,积分表被分为以下几个部分: 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫   ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +...
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  • 积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分,答案很简单:无论参数化为何,面积分不变。 对于向量场,情况复杂一些,因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同,则积分值不变。如果法向量定向相反,则积分...
    8 KB (1,627 words) - 05:03, 19 June 2023
  • 降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式積分法等方法求出降次公式,将原函数(如In)用低次的函数形式(如In-2)表示。然后将n代成想求的数,逐步降次,直至降至0或1为止,借助积分表得出结果。 如在求 ∫ cos 5 ⁡ ( x ) d x {\displaystyle...
    3 KB (868 words) - 14:51, 30 April 2024
  • 在实分析或数学分析中,达布积分(英語:Darboux integral)是一种定义一个函数的积分的方法,它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的,也就是说,一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的,并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单,并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。...
    10 KB (2,564 words) - 00:07, 3 July 2024
  • n元函数f(x1, x2,…, xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识(最左边的积分号最后计算),后面跟着被积函数和正常次序的积分变量(最右边的变量最后使用)。积分域或者对每个积分变量在每个积分号下标识,或者用一个变量标在最右边的积分号下: ∫ … ∫ D f ( x 1 , x 2...
    30 KB (6,978 words) - 07:23, 10 May 2024
  • 部分分式积分法,即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤,是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和,每个部分分式中的分子次数小于分母,然后根据积分表及利用其他积分技巧,将每个部分分式积分,就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12...
    2 KB (624 words) - 03:57, 20 September 2020
  • 辛普森法則(英語:Simpson's rule)是一種數值積分方法,是牛顿-柯特斯公式的特殊形式,以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式,以求得定積分的數值近似解。其近似值如下: ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f...
    2 KB (434 words) - 06:18, 14 December 2023
  • 积分符号内取微分(英語:Leibniz integral rule,莱布尼茨积分法则)是一个在数学的微积分领域中很有用的运算。它是说,给定如下积分 F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t {\displaystyle...
    10 KB (2,117 words) - 06:14, 9 December 2022
  • calculus)是涉及多元函數的微積分學的統稱。相较于只有单个变量的一元微积分,多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函數時,就引申出偏微分、全微分,對多元函數進行積分計算時,又會涉及多重積分。 多元函数的概念很早就出现在物理学中,因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托...
    12 KB (1,691 words) - 19:41, 26 June 2022
  • 积分因子是一种用来解微分方程的方法。 考虑以下形式的微分方程: y ′ + a ( x ) y = b ( x ) . . . . . . ( 1 ) {\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)} 其中 y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)}...
    3 KB (752 words) - 13:03, 3 July 2024
  • 换元积分法,又稱變數變換法(英語:Integration by substitution),是求积分的一种方法,由链式法则和微积分基本定理推导而来。 设 f ( x )   {\displaystyle f(x)\ } 为可积函数, g = g ( x )   {\displaystyle g=g(x)\...
    3 KB (687 words) - 23:58, 28 August 2024
  • {\displaystyle F'=f} 。 不定積分在原先的定義上並沒有設定區間,會與導函數間相差一常数 C {\displaystyle C} 。若導函數的定義是有區間的,請參照定積分。 不定积分和定积分间的关系係由微积分基本定理聯繫起來,函数的定积分可以透過先求得不定積分再帶入數字来運算。 有一函數 K (...
    10 KB (2,403 words) - 14:47, 29 April 2024
  • ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} . 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线,兩端點之中必然有一点,它的斜...
    8 KB (1,767 words) - 06:30, 12 July 2024
  • 梯形公式 (category 数值积分)
    \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)f({\frac {a+b}{2}})} 。 為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 分成 N {\displaystyle N} 份,當中 N {\displaystyle...
    4 KB (845 words) - 08:25, 12 February 2023
  • 求表达式的微分很简单,很容易构建算法;求积分则困难得多。许多相对简单的表达式的积分无法表示为解析解。参见不定积分与非初等积分。 有一种称为Risch算法的程序,能确定初等函数(由有限多指数、对数、常数、方根通过有限次复合、4种初等运算组成)的积分是否初等,如果是,则可以返回待求积分...
    7 KB (1,011 words) - 01:15, 11 October 2023
  • ( x ) w = Q ( x ) {\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)} 此一階常微分方程可用積分因子求解。 解以下微分方程。 y ′ − 2 y x = − x 2 y 2 {\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}...
    2 KB (354 words) - 18:20, 12 February 2023
  • y {\displaystyle y} 分別在公式的兩邊。將兩邊積分, ∫ d y y ( 1 − y ) = ∫ d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx} 。 積分的結果是 ln ⁡ | y | − ln ⁡ | 1 − y | =...
    7 KB (1,676 words) - 02:50, 20 June 2021
  • 在物理學與數學中,格林定理给出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线  L {\displaystyle...
    6 KB (1,002 words) - 10:18, 29 April 2024
  • 微積分學也称為微分积分学(拉丁語:Calculus),主要包括微分學和積分學两个部分,是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上,微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用,並成為了現代大學教育的重要组成部分,用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。...
    39 KB (6,520 words) - 19:25, 5 August 2024
  • integration) Linearity of integration(英语:Linearity of integration) 積分常數 微积分基本定理 分部積分法 换元积分法 Tangent half-angle substitution(英语:Tangent half-angle substitution)...
    4 KB (624 words) - 14:55, 13 August 2024
  • 三角换元法 (category 积分学)
    三角换元法是一种计算积分的方法,是换元积分法的一个特例。 在积分 ∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}} 中,我们可以用以下的代换 x = a sin ⁡ θ ,   d x = a cos ⁡ θ...
    4 KB (1,102 words) - 04:46, 20 June 2024