数学上，集合的冪集（英語：power set），定義為由該集合全部子集为元素構成的集合。给定集合 S {\displaystyle S} ，其幂集 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} （或作 2 S {\displaystyle 2^{S}} ）以符号表示即为...

質數冪是数学名詞，是指單一素数的乘積組成的自然数。 例如：7 = 71、9 = 32及32 = 25都是質數冪，而6 = 2 × 3、12 = 22 × 3和 36 = 62 = 22 × 32、40 = 23 × 5不是，因為它們有兩個或超過兩個質因數。（數字1一般不算是質數）。 前幾個質數冪如下：...

在數學裡，冪等有兩種主要的定義。 在某二元運算下，冪等元素是指被自己重複運算（或對於函數是為複合）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等實數為0和1。 某一元運算為冪等的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。 一元運算的定義是二元運算定義的特例（詳情請見下面）。...

\end{Bmatrix}}P(\mathbb {N} )} 雖然在集合中，元素的順序不重要，但我們假設從左到右以由小到大的方式記錄冪集合中的元素，以便討論。 通過這個「對應表」，我們可以構造一個自然數集合 W {\displaystyle W} ，構造方式為： 當左側的自然數「屬於」它對應的冪集合，我們就在 W {\displaystyle...

b^{n}} 看作乘方的结果 ——“幂”。 b n = b × ⋯ × b ⏟ n {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}} 幂運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪，是數學運算，表達式為 b n {\displaystyle...

在範疇論這個數學領域中，集合範疇（標記為 Set）是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。 集合範疇是許多其他範疇（如其態射為群同態的群範疇）的基礎，這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構，並限制其態射為特定函數而成。...

在数学中，继承有限集合被递归的定义为只包含继承有限集合（空集作为基础情况）的有限集合。非形式的说，继承有限集合是其成员也是有限集合，成员的成员也是有限集合以此类推，的有限集合。 它们可以通过如下规则构造： 空集是继承有限集合。 如果 a 1 , … , a k {\displaystyle a_{1}...

集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。 集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。...

。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。...

在集合论和有关的数学分支中，给定集合S 的子集的类F 叫做S 的子集族（或称S 上的集合族）。更一般的说，无论什么任何集合的类都叫做集合族。 幂集P(S )是在S 上的集合族。 n元素集合S 的k 元素子集S (k )形成了集合族。 所有序数的类Ord是“大”集合族；它自身不是集合而是真类。 令S =...

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做： ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall...

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 形式幂...

傳遞集合、即在ZF或ZFC集合论中，一个集合(或类) X {\displaystyle X} 是传递的，如果 ∀ y ∀ z   ( y ∈ X ) ∧ ( z ∈ y ) ⇒ ( z ∈ X ) {\displaystyle \forall y\forall z\ (y\in X)\land (z\in...

的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。 Ω {\displaystyle \Omega } 的元素称为点，而 F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,} 的元素称为复形。 集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。...

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的关系被称为“包含”。 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}...

无限集合是由无限个元素组成的集合，也称无穷集合或无限集。無限集合一般常見的例子有自然数集、整數集、有理数集等。無限集合分為可數集和不可數集。 自然数集是公理直接要求是无限集合的唯一集合。 集合論中，集合主要分為有限集合與無限集合。有限集合很多的性質是顯而易見的，而無限集合...

Y\right]} 所有偏序集合都是自身的上闭集合。上闭集合的交集还是上闭集合。任何上闭集合的补集都是下闭集合，反之亦然。 给定偏序集合 (X,≤)，用包含关系排序的 X 的下闭集合的家族是完全格，下闭集合格 O(X)。 给定有序集合 X 的任意子集 Y，包含 Y 的最小的上闭集合使用上箭头指示为 ↑Y。对偶的，包含...

個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。 環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的 an 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多...

空集公理：存在著一個不包含任何元素的集合，我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。 無窮公理：（Axiom of infinity）存在著一個集合x，空集{ }為其元素之一，且對於任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。 替代公理：（Axiom schema of replacement） 冪集公理：（Axiom...

算法，使之能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。更一般的集合的类叫做递归可枚举集合。这些集合包括递归集合，对于这种集合，只需要存在一个算法，当某个元素位于这个集合中时，能够在有限时间内给出正确的判定结果，但是当元素不在这个集合中时，算法可能会永远运行下去（但不会给出错误答案）。 自然数的子集...

数学中，一个集合被称为有限集合，簡單來說就是元素個數有限，嚴格而言則是指有一个自然数n使该集合与集合 { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} 之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合 { 1 ,...

{\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing } 空集的冪集是僅包含空集的集合： 2 ∅ = { ∅ } {\displaystyle 2^{\varnothing }=\left\{\varnothing \right\}}...

{\displaystyle h(gf)(x)} 一定等於 ( h g ) f ( x ) {\displaystyle (hg)f(x)} ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。 這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算 P n m {\displaystyle...

势（英語：Cardinality）在數學裡是指如果存在着从集合A到集合B的双射，那么集合A与集合B等势，记为A~B。一個有限集的元素個數是一個自然數，势標誌着该集合的大小。对于有限集，势为其元素的数量。比較無窮集裡元素的多寡之方法，可在集合論裡用集合的等勢和某集合的勢比另一個集合大這兩個概念來達到目的。 設 A {\displaystyle...

一些重要的基本集合包括空集（唯一沒有元素的集合），整數集合及實數集合。其他有關初等集合論的基本介紹，請參考集合。 若一個集合的所有元素都是集合，所有元素的元素都是集合……，此集合稱為純集合（英语：pure set），例如只包括空集合的集合是一個非空的純集合。在當代的集合論中，常常嚴格限制只考慮純集合...

，且引入福端伴隨函子定理來證明之。這需要一個適當版本的選擇公理。相似的說法也可應用在上極限函子（其為協變的）之中。 冪集合：冪集合函子P : Set → Set將每個集合映射至其冪集合，且將每個函數 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 映射至從 U ⊆ X {\displaystyle...

公理IV。幂集公理（Axiom der Potenzmenge）：“对于所有集合T都对应着一个集合T' ，T的幂集，精确的包含T的所有子集作为元素”。 公理V。并集公理（Axiom der Vereinigung）：“对于所有集合T都对应着一个集合∪T，T的并集，精确的包含T的元素们的所有元素作为元素”。...

集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：signature (logic)）。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。 舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。...

理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。 設 R {\displaystyle R} 為交換環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為其理想。該理想的冪零根 R a d ( I ) {\displaystyle \mathrm...

下面是一些主要的例子： 自然数的集合配备了它的自然次序（小于等于关系）。这个偏序是全序。 整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。 自然数的集合的有限子集{1, 2, ..., n}。这个偏序是全序。 自然数的集合配备了整除关系。 给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序。 向量空间的子空间的集合按包含来排序。...

通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢，最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構，但使得某些邊比其他邊長，它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合：在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合，而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。...