数学上，集合的冪集（英語：power set），定義為由該集合全部子集为元素構成的集合。给定集合 S {\displaystyle S} ，其幂集 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} （或作 2 S {\displaystyle 2^{S}} ）以符号表示即为...

\end{Bmatrix}}P(\mathbb {N} )} 雖然在集合中，元素的順序不重要，但我們假設從左到右以由小到大的方式記錄冪集合中的元素，以便討論。 通過這個「對應表」，我們可以構造一個自然數集合 W {\displaystyle W} ，構造方式為： 當左側的自然數「屬於」它對應的冪集合，我們就在 W {\displaystyle...

在數學裡，冪等有兩種主要的定義。 在某二元運算下，冪等元素是指被自己重複運算（或對於函數是為複合）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等實數為0和1。 某一元運算為冪等的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。 一元運算的定義是二元運算定義的特例（詳情請見下面）。...

b^{n}} 看作乘方的结果 ——“幂”。 b n = b × ⋯ × b ⏟ n {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}} 幂運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪，是數學運算，表達式為 b n {\displaystyle...

势（英語：Cardinality）在數學裡是指如果存在着从集合A到集合B的双射，那么集合A与集合B等势，记为A~B。一個有限集的元素個數是一個自然數，势標誌着该集合的大小。对于有限集，势为其元素的数量。比較無窮集裡元素的多寡之方法，可在集合論裡用集合的等勢和某集合的勢比另一個集合大這兩個概念來達到目的。 設 A {\displaystyle...

X} 上最大的σ-代数是 X {\displaystyle X} 的冪集 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} （也就是所有 X {\displaystyle X} 的子集合所組成的集合） 定理 —  設 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle...

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的关系被称为“包含”。 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（∀a∈A，则a∈B），则集合A称为集合B的子集，记为 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 或...

\vdash A=\bigcup {\mathcal {P}}(A)} 「 A {\displaystyle A} 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是以 A {\displaystyle A}...

一些重要的基本集合包括空集（唯一沒有元素的集合），整數集合及實數集合。其他有關初等集合論的基本介紹，請參考集合。 若一個集合的所有元素都是集合，所有元素的元素都是集合……，此集合稱為純集合（英语：pure set），例如只包括空集合的集合是一個非空的純集合。在當代的集合論中，常常嚴格限制只考慮純集合...

2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 。 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的冪集，可以證明超窮基數的個數是無窮的。然而有趣的是，超窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大...

空集公理：存在著一個不包含任何元素的集合，我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。 無窮公理：（Axiom of infinity）存在著一個集合x，空集{ }為其元素之一，且對於任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。 替代公理：（Axiom schema of replacement） 冪集公理：（Axiom...

集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。 集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。...

，且引入福端伴隨函子定理來證明之。這需要一個適當版本的選擇公理。相似的說法也可應用在上極限函子（其為協變的）之中。 冪集合：冪集合函子P : Set → Set將每個集合映射至其冪集合，且將每個函數 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 映射至從 U ⊆ X {\displaystyle...

z\Rightarrow q\in x)} 。對任一個集合 x {\displaystyle x} ，皆存在一個集合 y {\displaystyle y} ，為 x {\displaystyle x} 的冪集的父集。 x {\displaystyle x} 的冪集為一個其成員為所有 x {\displaystyle...

由楊冪、鄧倫、魏大勛、黃明昊、謝依霖、張國偉組成「蜜桃（密逃）六子」。當中張國偉於第7期起因訓練而退出節目。而黃明昊则于第一集逃脱成功后引领大家喊出并配合逃脱成功口号——“密室大逃脱，成功！”作出相应的动作，后一直沿用至今。 由楊冪...

質數冪是数学名詞，是指單一素数的乘積組成的自然数。 例如：7 = 71、9 = 32及32 = 25都是質數冪，而6 = 2 × 3、12 = 22 × 3和 36 = 62 = 22 × 32、40 = 23 × 5不是，因為它們有兩個或超過兩個質因數。（數字1一般不算是質數）。 前幾個質數冪如下：...

在集合论和有关的数学分支中，给定集合S 的子集的类F 叫做S 的子集族（或称S 上的集合族）。更一般的说，任何集合的类都叫做集合族。 幂集P(S )是在S 上的集合族。 n元素集合S 的k 元素子集S (k )形成了集合族。 所有序数的类Ord是“大”集合族；它自身不是集合而是真类。 令S = {a...

通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢，最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構，但使得某些邊比其他邊長，它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合：在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合，而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。...

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做： ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall...

在数学中，继承有限集合被递归的定义为只包含继承有限集合（空集作为基础情况）的有限集合。非形式的说，继承有限集合是其成员也是有限集合，成员的成员也是有限集合以此类推，的有限集合。 它们可以通过如下规则构造： 空集是继承有限集合。 如果 a 1 , … , a k {\displaystyle a_{1}...

在範疇論這個數學領域中，集合範疇（標記為 Set）是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。 集合範疇是許多其他範疇（如其態射為群同態的群範疇）的基礎，這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構，並限制其態射為特定函數而成。...

傳遞集合、即在ZF或ZFC集合论中，一个集合(或类) X {\displaystyle X} 是传递的，如果 ∀ y ∀ z   ( y ∈ X ) ∧ ( z ∈ y ) ⇒ ( z ∈ X ) {\displaystyle \forall y\forall z\ (y\in X)\land (z\in...

的置換，並給出個數為n的唯一循環群。 在一幺半群內，可以定義一元素x的正整數冪：x1=x 及 xn=x*...*x (乘上n次)，其中n>1。冪的規則xn+p=xn*xp則是很明顯的。 由定義可以證明其單位元e是唯一的。然後，對任一x，可以設x0為e，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。 逆元素：一元素x稱為可逆，若存在一元素y，使得x*y...

。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。...

下面是一些主要的例子： 自然数的集合配备了它的自然次序（小于等于关系）。这个偏序是全序。 整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。 自然数的集合的有限子集{1, 2, ..., n}。这个偏序是全序。 自然数的集合配备了整除关系。 给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序。 向量空间的子空间的集合按包含来排序。...

公理IV。幂集公理（Axiom der Potenzmenge）：“对于所有集合T都对应着一个集合T' ，T的幂集，精确的包含T的所有子集作为元素”。 公理V。并集公理（Axiom der Vereinigung）：“对于所有集合T都对应着一个集合∪T，T的并集，精确的包含T的元素们的所有元素作为元素”。...

滤子（英語：Filter）在数学中是指偏序集合的特殊子集。是昂利·嘉当在1937年发明的并随后在尼古拉·布尔巴基的书《点集拓扑学》中作为对E. H.摩尔和H. L. Smith在1922年发明的网的概念的替代。滤子经常使用的特殊情况是要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序。...

{\displaystyle X} 的幂集。 尽管图的边各有一对节点，而超边是节点的任意集合，因而能包含任意数量的节点。然而，通常的研究更倾向于每个超边连接的节点数相同的超图：k-均匀超图（每个超边都连接了k个节点）。因此，2-均匀超图就是图，3-均匀超图就是三元组的集合，依此类推。...

{\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing } 空集的冪集是僅包含空集的集合： 2 ∅ = { ∅ } {\displaystyle 2^{\varnothing }=\left\{\varnothing \right\}}...

函数（英語：function）是數學描述對應關係的一種特殊集合；粗略地說，從集合 X {\displaystyle X} 到集合 Y {\displaystyle Y} 的函數將 Y {\displaystyle Y} 的一個元素恰好分配給 X {\displaystyle X} 的每個元素。集合 X {\displaystyle...

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 形式幂...