拓扑空间的上同调环是交替代数。 反交换代数A偶数次的齐性子空间的直和是属于A的中心的子代数时，形成交替代数，且是交换的。 2不是零因子的（交换）基环R上的反交换代数A是交替代数。 交替多线性映射 外代数 分次对称代数 Nicolas Bourbaki. Algebra I. Springer Science+Business...

。值得注意的是，将非交换结合代数视作“非交换”空间上的函数代数是一种意义深远的几何直觉，尽管在形式上看像是谬误。 非交换代数几何的主要动机来自物理学，尤其是量子物理，当中可观察量代数被视作函数的非交换类似物，因此有动机观察其几何性质。非交换代数几何还为研究交换代数几何中的对象（如布饶尔群）提供了新技术。 非交换代数...

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数 C l 3 ,   0 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )} 作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。 克利福德代数...

数学物理中，时空代数（STA）指克利福德代数 C l 1 ,   3 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )} ，或等价的几何代数 G ( M 4 ) {\displaystyle {\rm {G}}(M^{4})} 。据大卫·黑斯廷斯，时空代数...

球坐标下与z轴的夹角 大地测量学中的纬度 物理学和数学中的标量场 辐射通量 电势 正态分布的密度函数 週期性函數的初始相位 χ代表： 统计学中的χ分布（卡方分布更为常见） 图论中一个图的着色数 代数拓扑中的欧拉示性数 元素周期表中表示电负性 拉比频率 基本粒子的旋量 电磁学中磁化率 線性代數中的特徵多項式 数学中的特征，特别是指狄利克雷特征...

代数与希尔伯特空间上的表示一同决定了一个测度空间，而这两种构造（诺依曼代数加测度空间的表示）是互逆的。 冯·诺依曼随后提出，非交换诺依曼代数应像交换诺依曼代数一样有几何意义。他与Francis Murray共同提出了诺依曼代数的分类。直积分构造说明了如何将任何诺依曼代数分解为更简单的代数集，即因子...

的一部分提出），但这并没有穷尽枚举问题的基本领域。 正如下面的例子所示，天真地应用维数计数与贝祖定理会产生错误结果。为解决这些问题，代数几何学家引入了模糊的“修正因子”，几十年后才有严格证明。 例如，计与射影平面中5条给定直线相切的圆锥曲线之数。它们构成维数为5的射影空间，其6个系数作为齐次坐标。...

八元數是是實數的可除代數，八元數是有最高維度的可除代數（十六元數或更高的元數不是可除代數，因為他們存在零因子）。在數學中，它們可以由實數八元數來區別，所以形成一個真實的八維向量空間，有著一個附加的向量，是代數中的附加。 一個規範代數是一個有者著積的代數並對於所有代數中的x和y符合以下公式： ‖ x y ‖ ≤...

用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。 代数簇和概形（Algebraic varieties and schemes）:一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。...

任何質數的真因數和皆為1 1是唯一一個真因數和為0的正整數 在概率論中，任一样本空間中必然发生的隨机事件之概率定义为1。 1是正数、整数、有理数、代数数、實数、复数。 在几何学中，单位圆和單位球的半徑都是1。 歐拉恆等式， e i π + 1 = 0 {\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi...

幾何的成功對西方數學影響極其深遠：一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題，這種態度才逐漸轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統一時不能建立，所以許多數學家仍然固守幾何...

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数，用k向量场（3维及以下时，k向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。外积取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。...

（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。 在线性代数中，向量常常采用更为抽象的向量空间（也称为线性空间）来定义。向量是向量空间中的基本构成元素。 向量空间是基于物理学或几何学中的空间概念，抽象出其代數性質所形成的一个概念，是一個满足一系列法则的代數結構。向量空間相伴的純量未必是實數，可以是複數、有...

高合成數：任何比此數小的自然數，其因數數目均比這個數的因數數目少。 奇數和偶數：除以2餘1的自然數，以及除以2會整除的自然數。 素数：其正因數只有1和自身的自然數。 素因子：本身是素数的因數。 素因子表：條列自然數的素因數。 素数公式：只產生素數的公式。 整数分解：以質因數的乘積來表示自然數。 RSA破譯競賽（英语：RSA Factoring...

集合的纯代数学定义等价。自1936年起，冯诺依曼开始研究冯诺依曼代数中的因子分类，期间还与弗朗西斯·穆瑞(Francis Joseph Murray)有过部分合作。1936年至1940年，他发表了6篇有代表性的论文，“位列20世纪分析学杰作名录”("rank among the masterpieces...

在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。在類似的脈絡下，幾何群論采用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和皮卡德群在代数几何上有重要应用；參見 除了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學...

在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。...

几何学上，单纯形（英語：simplex）或者n-单纯形是和三角形类似的n维几何体。精确的讲，单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的（n+1）个仿射无关（也就是没有m-1维平面包含m+1个点；这样的点集被称为处于一般位置）的点的集合的凸包。 例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是...

了广义逆矩阵（又稱作穆尔-彭罗斯广义逆）。 1958年，潘洛斯在劍橋大學於知名代數學家與幾何學家約翰·托德（英语：J. A. Todd）（John A. Todd）指導下獲得博士學位；其博士論文題目為《代數幾何學中的張量方法》（Tensor methods in algebraic geometry）。1965...

點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。 設 C {\displaystyle C} 為域 F {\displaystyle F} 上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點 P ∈ C ( F ) {\displaystyle P\in C(F)} ，使得該點切線 L P {\displaystyle...

因子、初等因子等概念的同时，弗罗贝尼乌斯给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念。同年，他探讨了矩阵的最小多项式（最小方程）问题。1894年的论文中，他讨论了矩阵理论和四元数理论的关系。1896年，他给出了凯莱-哈密尔顿定理的完整证明。矩阵理论在19世纪沿着两个方向发展，分别是作为抽象代数...

那么PCA能提供一幅较低维度的图像，相當於数据集在讯息量最多之角度上的一個投影。这样就可以利用少量的主成分讓数据的维度降低了。 PCA 跟因子分析密切相关。因子分析通常包含更多特定領域底層結構的假設，並且求解稍微不同矩陣的特徵向量。 PCA 也跟典型相關分析（CCA）有關。CCA定義的坐標系可以最...

微分学（英語：Differential calculus）是微積分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分学是微積分的二個主要分支之一。 微分学主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的...

“惠更斯－菲涅耳原理”。根据这一理论，任意后续位置的波位移等于这些次波求和。求和并非简单的代数和，而必须虑及这些波各自的相对相位以及振幅。因此，它们叠加之后的振幅范围介于0（相互完全抵消）和所有次波振幅的代数总和之间。我们可以通过光学实验，观察到光波的衍射图样。光的衍射图样通常具有一系列明暗条纹（...

弦论中的各种计算与陈-西蒙斯理论、格罗莫夫–威滕不变量、镜像对称、几何朗兰兹纲领等很多主题。 拓扑弦论中的算子表示了完整弦论中保留一定超对称的算子的代数。拓扑弦论是由对普通弦论的世界面描述进行拓扑扭曲得到：算子被赋予不同的自旋。这操作完全类似于拓扑场论的构建，其是一个相关的概念。因此，拓扑弦论不存在局部自由度。...

学，特别是量子场论。 微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子。给定一个环或域 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上的一个代数 A {\displaystyle {\mathcal...

= C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} 。 这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这概念可以不依赖几何学，而是用微积分学的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 上半部分的弧长，需要用到积分：...

型都是动力系统。对时空测量的不同选择中，最一般的定义统一了数学中的数个概念，如常微分方程和遍历理论。[來源請求]时间可用整数、实数或复数甚至更一般的代数对象来度量；空间可以是流形，也可以是集合，无需在其上定义光滑的时空结构。 在动力系统中有所谓状态的概念，是一组可确定的实数。这组实数也是一种流形的几...

A {\displaystyle A} ，等於曲線的長度 s {\displaystyle s} 乘以曲線的幾何中心經過的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} ： A = s d 1 {\displaystyle A=sd_{1}} 。 例：設環面圓管半徑為...

法，闵可夫斯基成功的将洛仑兹变换转变成一个几何学解释。他完善了许多东西，比如说四维矢量；他通过创造闵可夫斯基图解释了相对论的时空观；他还是使用了诸如世界线、原时以及洛仑兹不变性/协变性等术语的第一人。然而最著名的，还是他通过使用四维矢量的方式来阐述了电磁学。和庞加莱类似，他尝试形成引力的洛仑兹不变...

斯托尔兹－切萨罗定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 令 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq...