收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为： f ( z ) =...

柯西－阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）为複分析（Complex analysis）中求单複变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 对于单一复数变量“z”的形式幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z −...

（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当 | x | > R {\displaystyle |x|>R} 时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果 | x | = R {\displaystyle |x|=R} （在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。 根据达朗贝尔审敛法，收敛半径 R {\displaystyle...

βn中，分母不为零。 下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。 当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。 除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p<q+1 时，收敛半径为无穷大，当 p=q+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级...

}a_{n}} 收敛 { b n } {\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,} 是单调且有界的 则级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 收敛。 一个相关的审敛...

0}a_{n}z^{n}} 為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数 z 0 {\displaystyle z_{0}} ，级数 ∑ n ≥ 0 a n z 0 n {\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}} 收斂，則有: lim t...

+1)}}x^{2}+\cdots } 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。 柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。 1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数...

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 n阶方阵T若满足...

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。 令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cn×n中的特徵值，則其谱半径 ρ(A) is 定義為： ρ ( A ) = max { | λ 1 |...

收敛半径的幂级数上，那么在这个幂级数的米塔-列夫勒星形域上处处都是可和的。 准确的说，如果g(z)是在原点解析的解析函数，从而有相应正收敛半径的麦克劳林级数，并且在其米塔-列夫勒星形域上总有L(G(z)) = g(z)。进一步的，L(G(z))在这个星形域的每个紧集上一致收敛到g(z)。...

) − p ( n ) {\displaystyle A(x)=\prod _{n}{(1-x^{n})^{-p(n)}}} G的收敛半径定义为幂级数A(x)的收敛半径。 基本恒等式还有另一种形式 A ( x ) = exp ⁡ ( ∑ m ≥ 1 P ( x m ) m ) {\displaystyle...

{x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}} . 其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版...

z n {\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}} 复系数幂级数，且收敛半径不为零，我们记 D {\displaystyle D} 为其收敛区域。 函数 f : D → C z ↦ Σ n ≥ 0 a n z n {\displaystyle...

代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交錯级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。 考虑如下分解 1 1 + x...

率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 曲率有多种等价的定义 圆上每一点处的弯曲程度都相同，半径越小弯曲得越厉害，所以可以用半径的倒数来定量描述圆的弯曲程度。直线可以看作半径无限大的圆，所以直线的曲率为0。对于任意形状的曲线，每一点处的弯曲程度一般是不同的。对曲线 C {\displaystyle...

f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}} 的收敛半径为 1/2，因此它在 x = 1 时不收敛。然而，这样定义的函数 f 在去掉点 x = 1/2 后，具有到复平面唯一的解析开拓，并且具有相同的形式 f(x) = 1/(1...

质子半径之谜（英語：proton radius puzzle）是物理学中与質子大小有关的一个尚未解决的问题。历史上，质子半径是通过两种独立的方法测量的，它们的收敛值约为0.877飞米（1 fm = 10−15 m）。2010年的一项实验使用了第三种方法，该方法测得的半径为0...

_{i}} 描述表面与由 R {\displaystyle R} 和 K {\displaystyle K} 确定的轴对称二次曲面的偏差。 曲率半径 半径 基弧 基点 收敛 (光学)（英语：Vergence (optics)） Barbastathis, George; Sheppard, Colin. Real...

今日被称为“德沃克绝技”的技术，即使用弗罗本尼乌斯作用来增大收敛半径，肇源于德沃克早期的论文较平凡的发现，竟促成了所谓“收敛晶体”这一概念的诞生。 德沃克与合作者开启了 p-进微分方程研究的先河。他关于微分方程解的收敛半径，一般与特殊收敛多边形，微分模的典则分解等工作成为当今 p-进微分方程研究的基础。...

{\displaystyle f} 的泰勒级数在 | x | > 1 {\displaystyle |x|>1} 时发散，收敛半径为1。 冪級數可以定義在任意域上，取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 R {\displaystyle \mathbb {R} } 與 C {\displaystyle...

{1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots } 拉普拉斯發現此級數只在離心率較小時收斂，當離心率超過一定值就會發散。其收斂半徑即為拉普拉斯極限。 軌道離心率 Finch, Steven R., Laplace limit constant, Mathematical...

收敛于 a {\displaystyle a} ，记作 lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} 或 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} 。這時也稱這個數列是收斂...

时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。 本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。 实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时， x [ n ] {\displaystyle...

从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn)的初始点z0，可以通过迭代得到一个点序列z1, z2, …,。如果这一序列收敛于根ζk，则将z0划入区域Gk。如此便能将复平面...

某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。...

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。 若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。 歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即： 1 ϕ ( x ) = ∑ k = 0 ∞ p ( k ) x k {\displaystyle...

}^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx} 。 当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。 例子如下： ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u 1 x 2 d x = 1...

收敛测试。 一般而言，一个单调递减、非负的实数序列  f ( n ) {\displaystyle f(n)} 所对应的级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)} 收敛...

a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,} 其中係數的絕對值形成整數數列線上大全中的A002294。數列的收敛半径為 4 / ( 5 ⋅ 5 4 ) ≈ 0.53499. {\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx...

(1970)。他明确提出了置信域子问题，接受方向步 s k {\displaystyle s_{k}} 的准则，校正置信域半径 Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} 的准则，及收敛性定理。这些措施使置信域方法比线搜索方法具有更大的优越性。 考虑 min x ∈ R n f ( x ) {\displaystyle...

(s)\,e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} 由比值审敛法可知，右边的级数的收敛半径是无穷大。 由魏尔斯特拉斯原理，下式中的函数，有时记作 γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}} ，是关于 s 和...