在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n...

{\displaystyle \cdot } 是域乘法； 代数环面 G L ( 1 ) {\displaystyle {\rm {GL}}(1)} 。 整数模n乘法群是 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。...

）。在数论中自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。 下表给出任何整数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的加法和乘法的基本性质。 全体整数...

除法 有限域 勒让德符号 模冪 模反元素 模除 数论 皮萨诺周期（模n下的斐波那契序列） 原根 二次互反律 二次剩余 两元素布尔代数 和模算數有關的群論主題： 循環群 整数模n乘法群 其他和模算數有關的重要定理： 卡邁克爾函數 中国剩余定理 欧拉定理 (数论) 费马小定理 拉格朗日定理 (群論)...

M。在左R-模的定義中，環的元素r 和s 是在M 的元素x 的左邊。若R 是可交換的，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。 若R 是一個域則R-模就是R-向量空間。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒基底。 所有 交換群 M是一個在整數環Z的模，其純量乘法是nx = x...

\circ )} 為阿貝爾群或交換群，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。 群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。 乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。 驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱爲凱萊表。如果群...

，或以乘法表示運算並記為 C n {\displaystyle C_{n}} 。 每一個循環群要么同構于整数模 n {\displaystyle n} 的加法群： Z n = { 0 ¯ , 1 ¯ , 2 ¯ , ⋯ , n − 1 ¯ } {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\left\{{\overline...

在數學中，商群或因子群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模n的循环群是由在整数加法群中将相差n倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。 給定一個群G和G的正規子群N，G在N上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G...

小的正整数中所有与 n {\displaystyle n} 互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模n 的简化剩余系）。这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。因为此群阶为 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} ，所以 a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle...

有理數（包括0）在加法下也形成群。同時帶有加法和乘法運算產生更復雜的結構叫做環—如果同时除法总是可能的話（如在Q中）就是域，它在抽象代數中占據中心位置。群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。 對于任何素數p，模算術提供了整數模以p的乘法群。群的元素是不能被p整除的整數模...

在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。 整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群...

在抽象代数中，一个双模（bimodule）是一个既为左模也为右模的阿贝尔群，且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域，双模也扮演着澄清的角色，许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。 如果 R 和 S 是两个环，则一个 R-S-双模是一个阿贝尔群 M 使得： M 是一个左 R-模和一个右 S-模； 对所有...

{\displaystyle n} 是任意正整數。 对正整数 ( a , m ) = 1 {\displaystyle (a,m)=1} ，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zm×的一个生成元。由于Zm×有...

質數冪是只有一個質因數的整數。質數冪和類似的概念也稱為準素（primary numbers），例如準素分解。 質數冪是質數的自乘積。每一個質數冪（2的冪次除外）都有一個原根，因此整數模的整数模n乘法群pn是循環群。 有限域元素的總數一定是質數冪，相對的，質數冪一定是某...

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } {\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in...

在群論中，初等阿貝爾群是有限阿貝爾群，這里的所有非平凡元素都有 p 階而 p 是素數。 通過有限生成阿貝爾群的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式 (Z/pZ)n 對于非負整數 n。這里的 Z/pZ 指示 p 階的循環群(或等價的整數模以 p)，而冪符號表示意味著 n 元笛卡爾積。 初等阿貝爾群 (Z/2Z)2...

R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆矩陣的群，并指示為 GLn(R)或 GL(n, R)。 更一般的說，在任何域 F（比如複數集）或環 R（比如整數集的環）上的 n 次一般線性群是帶有來自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可簡寫為...

为了得到关于一个整数 n {\displaystyle n} 的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,…, n − 1的平方模 n {\displaystyle n} 的余数。但只要注意到a2 ≡(n − a)2(mod n)，我们就可以减少一半的计算量，只算到n/2了。于是，关于 n {\displaystyle...

整数进行标量乘法的元素系统。阿贝尔群可以视作是整数上的模，其中标量乘法定义如下： 但只有自由阿贝尔群像向量空间那样有基。自由模可以表示为基环上的直和，因此自由阿贝尔群和自由 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模是等价的概念：每个自由阿贝尔群（算上其上的乘法运算）都是自由...

自然數N是加法及乘法上的可交換幺半群。 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合 某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由幺半群。...

在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 T = { z ∈ C : | z | = 1 } . {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.} 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。...

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。 李群...

的子群，叫做 Frattini子群。 可逆元的群 U(Z9) 是所有的互素於 9 的整數在 mod 9 乘法下的群(U9 ={1,2,4,5,7,8})。這里的所有算術都要模以 9。7 不是 U(Z9) 的生成元，因為 { 7 i ( mod 9 )   |   i ∈ N } = { 7 , 4 ,...

+ I。 例如，环 Z/nZ（也记作 Zn），其中 n 是一个整数，是整数模 n 环。它是模算术的基础。 一个环的局部化是商环的对立面，在商环 R /I 中某些元素（I 中的元素）变为零，而在局部化中某些元素变为可逆的，即乘法逆添进环中。具体的，如果 S 是 R 的一个乘法闭子集（即只要 s 与 t...

{\displaystyle s^{-1}} 是 s {\displaystyle s} 在群 G {\displaystyle G} 上的逆元。（例如：如果 G {\displaystyle G} 是整数模n乘法群的一个子群，那么逆元就是模逆元）。 解密算法是能够正确解密出明文的，因为 c 2 ⋅ s − 1 =...

{\displaystyle u} 模以3，是群同态。它是滿射并且它的核由被三整除的所有整数构成。 指数映射产生从带有加法的实数集 R {\displaystyle R} 的群到带有乘法的非零实数集 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 的群的群同態。核是 { 0 } {\displaystyle \{0\}}...

群的元素，如多項式或方阵）的大正整数乘幂的一般方法。这些算法可以非常通用，例如用在模算數或矩阵幂。对于通常使用加性表示法的半群，如密码学中使用的椭圆曲线，这种方法也称为double-and-add。 该方法是基于观察到，对于正整数 n {\displaystyle n} ，可知 x n = {...

。另一個符號是 Dih2，因為它是二面體群。 如果 (G, *) 是無限循環群，則 (G, *) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。 某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如: 群 ( R {\displaystyle...

酉群，又叫幺正群，是李群的一种。在群论中， n {\displaystyle n} 阶酉群（unitary group）是 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作 U ( n ) {\displaystyle {\text{U}}(n)}...

000页的期刊上。 群论在历史上主要有三个来源：数论，代数方程理论和几何学。数论中出现的对群的研究始于莱昂哈德·欧拉，之后由卡尔·弗里德里希·高斯在对模算术和与二次域相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在代数数论中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。 关于置换群...

{R} ^{n}} ，其中n是正整数，向量加法为群作用。 正实数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} ，乘法为群作用。由指数映射与 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 同构。 任意具有离散拓扑的有限阿贝尔群...