機率密度函數（Probability density function，簡寫作PDF ，在不致於混淆时可简称为密度函数）是描述随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。圖中，橫軸為隨機變量的取值，縱軸為概率密度函數的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数...

在機率论和统计学中，機率质量函數（probability mass function，简写作pmf）是离散随机變數在各特定取值上的機率。有时它也被称为离散密度函数。 機率密度函數通常是定义离散機率分布的主要方法，并且此类函数存在于其定义域是离散的标量變數或多元随机變數（英语：Multivariate...

{\displaystyle x} 的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量（英语：Multivariate random variable）的分佈。 對於所有實數值的随机变量 X {\displaystyle X} ，累积分布函数定義如下： 其中右侧表示随机变量 X {\displaystyle...

\Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：...

的正态分布，则記為： X ∼ N ( μ , σ 2 ) , {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),} 則其機率密度函數為 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma...

，對任意實數 a {\displaystyle a} 定義。 具有相同分布函數的隨機變量一定是同分布的，因此可以用分布函數來描述一個分布，但更常用的描述手段是概率密度函數。 對於特定的隨機變量 X {\displaystyle X} ，其分布函數 F X {\displaystyle F_{X}} 是單調不減及右連續，而且...

分佈中的众数不一定只有一個，若概率质量函数或機率密度函數在x1, x2……等多個點都有最大值，就會有多個众数，最極端的情形是離散型均勻分佈，所有的點概率都相同，所有的點都是眾數。若機率密度函數有數個局部最大值，一般會將這幾個極值都稱為众数，此連續機率分佈會稱為多峰分布（英语：Multimodal...

歸一化常數（英語：Normalizing constant）的概念主要來自於數學上的機率論及其他分支。 根據機率論中的描述及定義，一個歸一化常數是對於任何非負函數的任意區間所含有之常數使得該函數對於一特定區間之積分恰好等於1。通常加入該常數之目的為將該函數轉變為一機率密度函數或機率質量函數。 舉個例子，如果假定 p ( x ) = e...

維格納半圓分布是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函數圖型是一半橢圓形。 f ( x ) = 2...

model）是用於表示母體中子母體的存在的機率模型，換句話說，混合模型表示了測量結果在母體中的機率分布，它是一個由數個子母體之機率分布組成的混合分布。混合模型不要求測量結果供關於各個子母體之機率分布的資訊即可計算測量結果在母體分布中的機率。 對一維的隨機變數 X {\displaystyle X} 的高斯分佈存在以下機率密度函數： F...

費雪z分佈是F分布隨機變數的自然對數0.5倍拉伸量的機率分布： z = 1 2 ln ⁡ F {\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln F} 首次由羅納德·愛爾默·費雪於1924年在多倫多舉辦的國際數學家大會的投稿文章所描述。現今則經常以F分布取代之。 費雪z分佈的機率密度函數與累積分布函數可由F分布於 x...

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數...

密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺3。 由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge...

D_{Q}\leq D^{*}.} 這裡 QY | X(y | x), 有時被稱為一個測試頻道 （test channel）, 係一種條件機率之機率密度函數 (PDF)，其中頻道輸出 (compressed signal) Y 相對於來源 (original signal) X, 以及 IQ(Y ;...

{\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } 各為兩個表純態的平方可積波函數，那這樣兩者間的機率幅就是： ⟨ ψ , ϕ ⟩ = ∫ R 3 ψ ⋅ ϕ ¯ d 3 x {\displaystyle \langle \psi ,\phi...

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x...

(1+n-m/2)}}U(m/2-n,1+m,x).} 其中U为特里科米函数。 坎宁安在是在用多變數擴展的埃奇沃斯級數，依機率密度函數的矩來近似機率密度函數時用到坎宁安函数，坎宁安函数和一維或多維常係數的擴散方程有關 坎宁安函数是下列微分方程的解 x X ″ + ( x + 1 + m ) X ′ +...

矩陣常態分配（matrix normal distribution） 是一種機率分佈，屬於常態分配的之一。 機率密度函數相對於隨機矩陣（random matrix） X (n × p) 表達如下的矩陣常態分配方式 p ( X | M , Ω , Σ ) = ( 2 π ) − n p / 2 | Ω...

y ) ) {\displaystyle V(f({\vec {x}},y))} 即損失函數，而 p ( x → , y ) {\displaystyle p({\vec {x}},y)} 為機率密度函數。而實作上概率分布 p ( x → , y ) {\displaystyle p({\vec...

{\displaystyle {T}} 失效時間。 失效分佈函數是機率密度函數f(t)的積分 F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ . {\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau .\!} 風險函數可以定義為 h ( t ) = f ( t )...

x\in [0,t/2]} 且均匀分布，其機率密度函數為 2 t {\displaystyle {\frac {2}{t}}} 。 θ ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]} 且均匀分布，其機率密度函數為 2 π {\displaystyle...

{\displaystyle f(x)} 是非負函數，使得 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.} 以概率論的語言， f {\displaystyle f} 是個機率密度函數。 延森不等式变成以下關於凸積分的命題：...

函數至機率分佈裡的相空間. 在給定的量子力學波函數ψ(x)，維格納準概率分佈是所有空間自相關函數的一個母函數.因此1927時，赫爾曼·外爾 提出在量子機率密度函數，它扮演真實相空間函數及厄密特運算子的映射角色。事實上，它是密度...

\Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ as }}x\to \infty ,\qquad \alpha >0.\,} 也就是說，如果 X 的機率密度函數 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} 是 f X ( x ) ∼ x − ( 1 + α )  as  x →...

在量子力學裏，密度算符（英語：density operator）與其對應的密度矩陣（英語：density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態...

equation)，可以由狀態轉移函數與時間 k − 1 {\displaystyle k-1} 的機率密度函數 p ( x k − 1 ∣ y 1 : k − 1 ) {\displaystyle p(x_{k-1}\mid y_{1:k-1})} ，計算出時間 k {\displaystyle k} 的先驗機率 p (...

又稱KL散度（Kullback–Leibler divergence)，兩機率密度函數f、g的相對熵定義為: D ( f | | g ) = ∫ f l o g f g {\displaystyle D(f||g)=\int flog{f \over g}} 。 兩連續型隨機變數的聯合機率密度函數為 f ( x , y ) {\displaystyle...

{\displaystyle n} 的單變量卡方分佈。 威沙特分佈常用於多變量的概似比檢定，亦用於隨機矩陣的頻譜理論中。 威沙特分佈具有下述的機率密度函數： 令' W {\displaystyle \mathbf {W} } 為一 p × p {\displaystyle p\times p} 正定對稱隨機變數矩陣。令...

埃奇沃斯級數（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣，是把一個隨機變數的機率密度函數展成級數，級數中的每一項是用該隨機變數的累积量來表達。對同一個分布，Gram-Charlier A series...

{\displaystyle \psi (x)} 是波函數。 一般而言，波函數 ψ {\displaystyle \psi } 是一個複函數。可是， ψ ∗ ψ =∣ ψ ∣ 2 {\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}} 是一個實函數，大於或等於 0 {\displaystyle...

在量子力學裏，定態（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為 d d t | Ψ ( x , t ) | 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0} ；...