在数学和计算机科学中，欧拉方法（英語：Euler method），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。 欧拉方法是常微分方程數值方法中最基本的显式方法；是一阶的方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。 考虑计算這樣的一个未知曲線的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。...

（原始内容存档于2018-07-07）.  维基共享资源中相关的多媒体资源：萊昂哈德·歐拉 欧拉猜想 歐拉旋轉定理 欧拉定理 欧拉方程 欧拉数 欧拉方法 欧拉函数 欧拉图 欧拉路径 歐拉運動定律 欧拉乘积 欧拉砖 十八世纪数学 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 更多他的故事 （页面存档备份，存于互联网档案馆）...

欧拉方程可以是指： 欧拉公式，复分析基本公式，将三角函数与复数指数函数相关联 柯西－欧拉方程，一类二阶常微分方程的通称 歐拉－拉格朗日方程，变分法中求泛函的临界值（平稳值）函数的一个方法 欧拉方法，一种求解给定初值的常微分方程（初值问题）的基本方法 欧拉方程 (流体动力学)，是一組支配無黏性流體運動的方程式...

t k ) {\displaystyle y_{k}=y(t_{k})} 。用最簡單的顯式和隱式方法將此方程式离散化，分別是「前向歐拉方法」及「後向歐拉方法」，並且比較其差異。 前向歐拉方法 前向欧拉方法 ( d y d t ) k ≈ y k + 1 − y k Δ t = − y k 2 {\displaystyle...

Heun法（又稱改进的或修改過的欧拉方法、顯式的梯形规则）是数学和计算机科学中求解給定初值常微分方程的数值方法，以德國數學家卡爾·休恩（英语：Karl Heun）命名。可被视作把欧拉方法扩展为两级二阶龙格－库塔法。 运用Heun法计算初值问题数值的解可分成以下步骤： y ′ ( t ) = f (...

速度，在时间上相互交错，所以他们相互跃过对方。例如，位置为整数的时间步长而速度为整数加一半的时间步长。 蛙跳积分法是一个二阶的方法因此通常要好于一阶的欧拉方法。不同于欧拉方法，它对振荡运动稳定，只要满足 Δ t < 1 / ω {\displaystyle \Delta t<1/\omega } ....

改进初始近似，以内插这一未知的函数在相同后续点的值。 对于常微分方程(ODE)的数值解，预估–校正方法通常使用一个显式方法作为预估步和一个隐式方法作为校正步。 一个简单的预估–校正方法(即Heun方法)可以由欧拉法 (一个显式方法)和梯形规则 (一个隐式方法)构成。 考虑如下微分方程 y ′ = f ( t , y ) , y...

欧拉公式（英語：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x {\displaystyle x} ，都存在 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle...

分方程。如果基礎偏微分方程是線性的，則元素方程也是線性的，反之亦然。穩態問題中出現的代數方程組，便利用數值線性代數方法求解，而瞬態問題中出現的常微分方程組則使用其他數值方法（例如欧拉方法或Runge-Kutta法）通過數值積分來求解。 有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。它的发展可以追溯到Alexander...

O\left(h^{2}\right)} 。其運算比歐拉方法要大，但在 h → 0 {\displaystyle h\to 0} 的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。 此法也是高階方法（如龙格-库塔法）的範例之一。 中點法可以視為是改良版的欧拉方法 y n + 1 = y n + h f ( t...

欧拉-丸山法是用数值求解随机微分方程（SDE）的方法，是欧拉法求解常微分方程（ODE）在随机微分方程上的推广。此方法以欧拉和日本数学家丸山仪四郎命名。 考虑如下随机微分方程（见伊藤积分） d X t = a ( X t ) d t + b ( X t ) d W t , {\displaystyle...

近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率的时候，往往会采用数值精确较差的后向欧拉法进行计算，这样即可以保证稳定，又避免了解的伪振荡。 克兰克－尼科尔森方法在空间域上的使用中心差分；而时间域上应用梯形公式，保证了时间域上的二阶收敛。例如，一维偏微分方程 ∂ u ∂ t...

方法或半蒙地卡羅方法。（可參照蒙地卡羅積分，或是適用於高維度的稀疏网格法。） 数值分析也會用近似的方式計算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。 常微分方程的數值方法往往會使用迭代法，已知曲線的一點，設法算出其斜率，找到下一點，再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式，較常使用的是龍格－庫塔法。...

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。 考虑常微分方程 d y d t = f ( t , y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm...

则得到反向欧拉法： 反向欧拉法是隐式方法，这是说需要求解一个方程才能得到新值 y n + 1 {\displaystyle y_{n+1}} 。通常用定点迭代或牛顿-拉弗森法（的某种修改版）实现之。 隐式方法求解这方程比显示方法直接代入要花更多时间，选择方法时必须考虑这一成本。隐式方法...

欧拉因式分解法是一种整数分解方法，重点是用两种方式把要分解的数表示为两数平方和。比如要分解 1000009 {\displaystyle 1000009} ，这个数既能写成 1000 2 + 3 2 {\displaystyle 1000^{2}+3^{2}} ，又能写成 972 2 + 235 2...

在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（英語：Method of Lagrange multiplier，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。 對一個有 n {\displaystyle n} 个变量与 k {\displaystyle...

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(hp+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。 RK4法处于这个框架之内。其表为： 然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式為...

{\displaystyle y(t)\to 0} 。 會希望数值解能够具有相同的特性。 若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步长（step size）將會得到不同的結果。第一种，步长 h = 1 / 4 {\displaystyle h=1/4} 的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 h = 1 / 8...

拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉...

歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。 實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。 α {\displaystyle...

洛必達法則（又稱罗比塔法则）（法語：Règle de L'Hôpital，英語：L'Hôpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令 c ∈...

柯西-尤拉方程是形式如 x 2 y ″ + b x y ′ + c y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0} （其中 b , c {\displaystyle b,c} 是常數）的二階變係數常微分方程。 觀察可知 y = x r {\displaystyle...

韦尔莱算法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法，被广泛应用于分子动力学模拟以及视频游戏中。韦尔莱算法的优点在于：数值稳定性比简单的欧拉方法高很多，并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。 Carl Størmer首次应用韦尔莱算法求解磁场中运动粒子的轨迹，因此韦尔莱算法又被称为S...

欧拉创立于伊朗，并在中东地区开始传播。巴哈伊也可以指代接受巴哈伊信仰并按其准则生活的人，他们在提升和完善自身的同时也竭尽所能地促进他人及社会的福祉。巴哈伊信仰目前拥有800至900万信徒， 遍布于世界大部分国家和地区，在印度和伊朗的集中度最高。 巴哈伊教创始人为巴哈欧拉...

瑞吉欧方法（Reggio Emilia Approach）是一种教育理念，专注于学前教育和小学教育。瑞吉欧方法為第二次世界大战后的意大利，洛里斯·马拉古齐和雷焦艾米利亚周围村庄的家長開始使用的一種教育方式。从战争的破坏中，当地家长们认识到，需要一种新的，快速的方法...

1820 BC）記載了對不同種類的体积和面积的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，没有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。 積分的起源較早，古希臘時期欧多克索斯（约公元前408-355年）就曾用穷竭法來求面積與體積。阿基米德（约公元前287-212年）用內接正多邊形的周...

欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。 设 f ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}} 为一至少 k +...

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)} 的方式来表达。 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法： 把 n {\displaystyle n} 元隐函数看作 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 元函数，通过多元函数的偏导数的商求得...

欧拉计划（Project Euler）是一个解题网站，站内提供了一系列数学题供用户解答，解题的用户主要是对数学和计算机编程感兴趣的成年人及学生。其主旨为鼓励、挑战和培养爱好数学的人的技能和乐趣。目前该站包含了七百多道不同难度的数学题。每一题都可以通过计算机程序在1分钟内求出结果。该网站自2001年起...

_{r\to 0^{+}}{(2\pi r-C(r))\cdot {\frac {3}{\pi r^{3}}}}.} 高斯曲率在整个曲面上的积分和曲面的欧拉示性数有密切关联；参见高斯-博内定理。 平均曲率等于主曲率的算术平均数 k 1 + k 2 2 {\displaystyle {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}...