• 手短に言えば、特異ホモロジーは標準単体から位相空間への連続写像の族σをとり、それらから特異チェイン (singular chain) と呼ばれる形式和を作ることによって構成される。単体上の境界作用素は特異チェイン複体を誘導する。すると特異ホモロジーはそのチェイン複体のホモロジーである。得られるホモロジー...
    18 KB (3,071 words) - 12:39, 16 December 2022
  • を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。 ホモロジー群は以下のような手続きを経て作られる。...
    25 KB (3,754 words) - 07:46, 21 July 2024
  • _{n}}{\rightarrow }}\ C_{n-1}\rightarrow \cdots } を、特異ホモロジー(あるいは単体的ホモロジー)の定義でのように、考えよ。ここで、Cn は X における特異 n-単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群であり、∂n は n 次バウンダリ作用素である。...
    18 KB (2,284 words) - 22:57, 29 October 2023
  • dn が存在する。その複体のホモロジーは位相空間 X、単体的複体 K、あるいはアーベル群 A の構造を反映している。位相空間のケースでは、特異ホモロジーの概念に到達する。これはそのような空間例えば多様体の性質を研究する際に基本的な役割を果たす。 哲学的なレベルでは、ホモロジー...
    31 KB (4,658 words) - 19:55, 10 September 2023
  • \sigma }\eta =\int _{\sigma }\omega } となる。このことからド・ラームコホモロジー特異ホモロジーの間にペアリングを定める事ができ、特異ホモロジーの双対である特異ホモロジーへの線形写像 I : H d R p ( M ) → H p ( M ; R ) {\displaystyle...
    11 KB (1,605 words) - 00:56, 6 July 2023
  • 数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー(英: group cohomology)とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 G の G 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。G...
    53 KB (4,758 words) - 07:45, 30 October 2023
  • 鎖複体 (category ホモロジー代数)
    しての研究では、(余)鎖複体を公理的に代数的構造として扱う。 (余)鎖複体の応用は、通常、ホモロジー群(余鎖複体ではコホモロジー群)を定義し適用する。より抽象的な設定では、様々な同値関係(たとえば、チェインホモトピー(英語版)のアイデアで始まるもの)が複体へ適用される。鎖複体は、アーベル圏で定義することも容易にできる。...
    13 KB (2,197 words) - 20:14, 10 September 2023
  • エタール・コホモロジー(étale cohomology)はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異ホモロジーの類似になっている。エタール・コホモロジーはヴェイユ・コホモロジー...
    7 KB (1,203 words) - 01:24, 27 March 2022
  • 数学において、層コホモロジー(そうコホモロジー、sheaf cohomology)は、アーベル群の層に関連する層の理論の一面であり、ホモロジー代数を用いて、層 F の大域切断の具体的な計算を可能とする。数値的な領域での幾何学的な問題の記述として、層コホモロジー...
    18 KB (1,658 words) - 19:47, 10 September 2023
  • 定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。 本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必...
    26 KB (5,053 words) - 12:31, 16 March 2023
  • 可縮空間 (category ホモトピー論)
    特異ホモロジーホモトピー不変であるから、可縮空間の被約ホモロジー群(英語版)はすべて自明である。 位相空間 X に対して以下は全て同値である(ここで Y は任意の位相空間である) X は可縮(すなわち恒等写像が0にホモトープ X は1点からなる空間にホモトピー同値 1点はX...
    4 KB (591 words) - 20:35, 4 November 2022
  • ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト–ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理(英語版)とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモ...
    15 KB (2,020 words) - 20:04, 10 September 2023
  • マイヤー・ヴィートリス完全系列 (category ホモロジー論)
    全体空間の(コ)ホモロジー群、部分空間の(コ)ホモロジー群の直和、部分空間の交わりの(コ)ホモロジー群の三者から構成される自然な長完全列である。 マイヤー・ヴィートリス完全系列は、特異ホモロジー特異ホモロジーを含む様々なホモロジー論およびコホモロジー論において成立する。一般に、アイレンバーグ-ス...
    30 KB (3,929 words) - 14:29, 29 November 2022
  • ことは、代数曲線が完備(英語版)であるという条件(この場合射影的であることにも同値)と並行して議論することができる。一般的な体 k 上には、特異(コ)ホモロジーの考え方はないので、いわゆる、幾何種数が次のように定義される。 g ( C ) := dim k ⁡ Γ ( C , Ω C 1 ) {\displaystyle...
    48 KB (4,425 words) - 12:46, 22 October 2023
  • カップ積 (category ホモロジー論)
    て、Massey積(英語版)と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次のコホモロジー演算(英語版)であり、部分的にしか定義されない(ある三つ組に対してしか定義されない)。 特異ホモロジー ホモロジー論 キャップ積 Massey積(英語版) Torelli群(英語版) James R. Munkres...
    8 KB (866 words) - 14:18, 28 November 2021
  • 数学のホモロジー代数において、分解(ぶんかい、英: resolution)(あるいは左分解 (left resolution); 双対の余分解 (coresolution) あるいは右分解 (right resolution))は加群(あるいはより一般に、アーベル圏の対象)の完全列であり、加群ある...
    15 KB (2,322 words) - 05:44, 13 May 2023
  • ベクトルバンドルの向き付け(ある点での局所向き付けは接空間の向き付けである)を使う、もしくは、特異ホモロジーを使い局所向き付けがなされる。(特異ホモロジーの定義する向きは、点 p での n 次相対ホモロジー(英語版)(relative homology)群 H n ( M , M ∖ { p } ;...
    35 KB (3,047 words) - 13:19, 30 August 2023
  • 目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。 フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興...
    70 KB (6,917 words) - 08:33, 28 November 2023
  • EG とする。 位相空間 X の基本群は、ループは特異 1-サイクルでもあるので、1次の特異ホモロジー群と関連している。基点を x0 とする各々のループのホモトピー類をループのホモロジー類へ写像することは、基本群 π1(X, x0) からホモロジー群 H1(X) への準同型を与える。X...
    26 KB (4,064 words) - 04:09, 10 November 2022
  • ホモロジーは多様体の不変量である(つまり、函数と計量とは独立)という定理で、多様体の特異ホモロジーと同型となる。この定理はモースホモロジー特異ベッチ数が一致することを意味し、モース不等式の証明となっている。モースホモロジーの無限次元の類似はフレアーホモロジーである。 エドワード・ウィッテン(Edward...
    36 KB (3,334 words) - 10:01, 18 February 2024
  • キャップ積 (category ホモロジー論)
    は右 H ∗ ( X ; R ) {\displaystyle H^{\ast }(X;R)} 加群になる。 カップ積 ポワンカレ双対 特異ホモロジー ホモロジー論 Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002)...
    4 KB (419 words) - 18:08, 26 December 2015
  • 実際には、これはヴォエヴォドスキーによって作られた4つの理論、すなわち、モチヴィック・コホモロジー、コンパクト台モチヴィック・コホモロジー、ボレル・ムーア・モチヴィック・ホモロジー(これが今説明したもの)、コンパクト台モチヴィック・ホモロジーのうちのひとつに過ぎない。これらの理論は対応する位相幾何学の理論の多くの...
    20 KB (2,685 words) - 07:11, 23 September 2023
  • 多様体や単体および単体的複体の境界に関する議論では、しばしば境界の境界はつねに空であるという主張を目にすることもあるだろう。実際、特異ホモロジーの構成はこの事実に決定的に基づいている。この明らかな不整合に対する説明としては、この項目の主題となる位相的な境界と、多様体や単体的複体の境界と...
    9 KB (1,355 words) - 13:01, 27 June 2023
  • カタストロフィー理論の創始者として有名だが、代数的トポロジーおよび微分トポロジーの第一人者でもある。コボルディズム理論の創始者の一人であり、トム空間(英語版)、トムの横断性定理(英語版)、特性類、特異点理論、葉層構造(英語版)論、力学系、ホモロジーホモトピーの研究の基礎を築き上げた。...
    4 KB (308 words) - 01:49, 6 July 2024
  • 数学で、レフシェッツ不動点定理(Lefschetz fixed-point theorem)は、コンパクトな位相空間 X からそれ自身への連続写像の不動点の数を、X のホモロジー群の上の誘導された写像のトレースによって数える公式である。この名称はソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)にちなみ、1926年に彼が最初に提唱した。...
    17 KB (1,549 words) - 00:21, 12 October 2021
  • 数学では、特に代数トポロジーでは、位相空間 X のコホモロジー環 (cohomology ring) は、X のコホモロジー群から作られる環であり、環の積としてカップ積を持つ。ここに「コホモロジー」とは、通常、特異ホモロジーであるが、しかし、環の構造はド・ラームコホモロジーのような他の理論でも存在する。コホモロジー...
    6 KB (524 words) - 08:35, 30 July 2019
  • レフシェッツの定理は、次のステートメントがどれも成り立つという定理である。 特異ホモロジーの自然な写像 Hk(Y, Z) → Hk(X, Z) は、 k < n − 1 に対しては同型であり、 k = n − 1 に対しては全射である。 特異ホモロジーの自然な写像 Hk(X, Z) → Hk(Y, Z) は、 k...
    23 KB (1,832 words) - 12:03, 11 November 2022
  • \rangle } の交換子部分群は [Q, Q] = {1, −1} である。 弧状連結位相空間 X の基本群 π1(X) の交換子部分群は、整係数一次特異ホモロジー群 H1(X; Z) の上への自然な準同型の核である。言い換えると、π1(X) のアーベル化は H1(X; Z) に自然に同型である。 導来部分群は特性部分群ゆえ、G...
    14 KB (2,152 words) - 06:13, 9 October 2023
  • の元が、すなわち元の関数 f の不動点である。 さらなる一般化のためにはより多くの概念が要求される。写像度の定義は、f の特異値にまで拡張されねばならず、したがって連続函数までの拡張となる。近年のホモロジー論の進展は、写像度の構成を簡略化し、標準的な証明となっている。 この証明は、D n の境界が (n − 1)-球面...
    23 KB (3,176 words) - 15:39, 2 July 2023
  • 特異ホモロジー群 Hk(M, Z)(または特異ホモロジー群 Hk(M, Z))と同型であり、M の滑らかな単体ではなく連続な単体を使用して定義される。 一方、外微分 d を接続写像として持つ微分形式は、ド・ラームコホモロジー群 Hk dR(M, R) を定義する余鎖複体を形成する。...
    37 KB (4,963 words) - 07:19, 1 April 2024
  • ン(カルシウムイオン結合ドメイン)が存在する。新型PKCは、在来型と同様に連続した2つのC1ドメインを有しているが、在来型PKCのC2ドメインとホモロジーを有するC2 likeドメインはカルシウムイオンを結合しない。非典型PKCは1つのC1ドメインのみを有するが、ジアシアルグリセロール結合活性は失...
    25 KB (3,577 words) - 09:18, 22 July 2024