赋范向量空间都是一个拓扑空间，其拓扑结构由它的半范数诱导。 在赋范向量空间中，完备的赋范向量空间特别重要，称为巴拿赫空间。每个赋范向量空间都是一个巴拿赫空间的稠密子空间，这个巴拿赫空间由此赋范向量空间唯一确定，称为它的完备空间。 在拓扑的角度来说，有限维的向量空间上的任意两个范...

\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}} 此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。 對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。 令 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty }...

僅指實數向量空間，而加入了如上定義的歐幾里得結構後才稱為歐氏空間；有些作者會用符號 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 來標記之。歐氏結構使 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 具有這些空間結構：內積空間、希爾伯特空間、賦範向量空間以及度量空間。...

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。 給定域 ( K , + , × ) {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}...

F-空間。許多有趣的函數空間都是弗雷歇空間。 核空間：使得映至任何巴拿赫空間的有界算子均為核算子的弗雷歇空間。 賦範向量空間與半賦範向量空間：顧名思義，即其拓撲由一範數或一族半範數定義的拓撲向量空間。在賦範向量空間中，一算子的連續性等價於有界性。 巴拿赫空間：完備賦範向量空間。泛函分析學大部奠基於此。 自反巴拿赫空間：使得自然映射...

在泛函分析中，巴拿赫空間（英語：Banach space）是完備賦範向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。其完备性体现在，空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的極限。 巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間...

^{2}} 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如： ( 3 , 7 ) {\displaystyle (3,7)} ）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。 拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。 假设 V {\displaystyle...

矩阵范数（matrix norm）亦译矩阵模是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念，是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。 赋范向量空间是拓扑向量空间...

上的范数。所以內積空間也是一個賦範向量空間。這樣直觀上 ‖ v ‖ {\displaystyle \|v\|} 就是向量 v {\displaystyle v} 的長度。這樣內積定义的非退化部分，就可以直觀理解為「任意向量 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 為零向量...

空间来指代原空间M。 其它的嵌入构造表明每一度量空间都等距同构到某一賦範向量空間的一个闭子集以及每一完备度量空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。 一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。 设X, Y是两个度量空间，其中的距离分别是dX 和dY。一个映射f :...

在数学中，Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的ℓp空间是由p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間。 在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。 泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构乃至更复杂的结构，以便使用拓扑...

考克斯特，Regular Polytopes 一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间。 从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。一个向量的“长度” x = ( w , x...

{\sqrt {4^{2}+5^{2}+6^{2}}}={\sqrt {77}}} ，即約8.775。 一般來說，量的概念可以應用到向量空間，稱為賦範向量空間。將物件對應到其量的函數稱為範數。 量永遠非負。比較的大小時，有时使用對數為尺度很有幫助；例如聲音的音量（分貝）和恆星的亮度，这些应用实际上是“物理量”。...

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。） 在域 K {\displaystyle \mathbb {K} } （ K {\displaystyle...

的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡，每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。 前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。 在具 p-範數 Lp 的笛卡爾空間 R n {\displaystyle \mathbb {R}...

数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如： i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } 。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。 一个非零向量 u {\displaystyle...

在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。 定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體...

算子范数是数学中泛函分析里的概念。算子范数衡量的是线性映射或线性算子的“大小”，通常指的是两个赋范向量空间之间的有界线性映射所构成的空间的范数。 给定两个赋范向量空间E和F，假定它们的系数域相同（一般是实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或复数域 C {\displaystyle...

在泛函分析此一數學分支裡，有界線性算子是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L，使得對所有X 內的非零向量v，L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即，存在一些M > 0，使得對所有在X 內的v， ‖ L v ‖ Y ≤ M ‖ v ‖ X . {\displaystyle...

为这个积分的平方根来变成赋範向量空间。问题是这不是实际上的範数，只是半範数，因为有除了零函数之外有（半）范数为零的函数。标准解决是定义 L2(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋範向量空间的商空间，而这个商是赋範向量空间。它从半赋範空间继承了一些方便的性质。 一般的说，在处理集合 X...

點為此點的Moore型邻居（英语：Moore neighborhood）。 切比雪夫距离等价于p趋于无穷大时的p阶明可夫斯基距离。 曼哈頓距離 賦範向量空間 Cyrus. D. Cantrell. Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers...

之實數集合為完备度量空间。具有相關度量的有理數集合也會形成一個度量空間，但不完備。 具有距離函數 d ( x , y ) = | log ⁡ ( y / x ) | {\displaystyle d(x,y)=\vert \log(y/x)\vert } 的正實數集合為完備度量空間。 賦範向量空間的度量定義為...

向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或纯量。 一些物理量雖然具有方向性，但只能使用算術加法，不符合向量加法，所以不是向量，例如是角移、電壓及電流。 在线性代数中，向量常常采用更为抽象的向量空间（也称为线性空间）来定义。向量是向量空间中的基本构成元素。 向量空间...

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.} 項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間中。 Kaczor p.336 如Rudin (p.60)只提到其相反位置（contrapositive）的形式，沒有命名。Brabenec (p...

在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换 P {\displaystyle P} ，满足 P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} ,也就是说，当 P {\displaystyle P} 两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同（幂等）。是日常生活中“...

这不能与半范数或伪范数相混淆，后者满足范数公理，但没有正定性。 一个赋有拟范数的向量空间被称为拟赋范向量空间。 一个完备拟赋范向量空间被称为拟巴拿赫空间。 一个拟赋范空间 ( A , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (A,\|\cdot \|)} 被称为拟赋范代数，如果向量空间A是一个代数且存在常数K>0满足...

数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間。对于某个给定的p ≥ 1，索伯列夫空间的范数是函数f 的k阶导数和函数f 的有限Lp范数的结合。 索伯列夫空间以苏联数学家舍蓋·索伯列夫来命名。它的重要性体现在一些偏微分方程的弱解在特定的索伯列夫空间存在，即使该偏微分方程在具有经典导数定义的连续函数空间不存在强解。...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间...

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。 對於在實數集的子集的函數 f : D ⊆ R → R {\displaystyle f\colon...

在数学、尤其是泛函分析中，向量空间 V {\displaystyle V} 上的自伴算子（self-adjoint operator）是一类特殊的线性算子（自同态），其伴随算子是其自身。根据不同的需要，可以讨论 V {\displaystyle V} 为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间...

在数学领域裡，算子（operator）有别于物理的算符，是一種映射，一个向量空间的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在...