数学におけるモノイド圏（モノイドけん、英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な双函手（英語版） ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象...

数学の特に圏論におけるモノイド閉圏（モノイドへいけん、英: closed monoidal category; 閉モノイド圏）とは、モノイド積（テンソル積）およびその右随伴として定まる「冪」（通常の冪対象とは異なる）を対象として持つ圏である。言い換えれば、冪対象の類似物を持ったモノイド圏である。モノイド...

数学の特に圏論と呼ばれる分野において、デカルトモノイド圏（デカルトモノイドけん、英: cartesian monoidal category）あるいは短くデカルト圏は、モノイド積（テンソル積）が圏論的（直）積で与えられるモノイド圏を言う。有限積を持つ任意の圏（有限積圏）はデカルトモノイド圏...

monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏...

数学の一分野、圏論における豊穣圏（ほうじょうけん、英: enriched category; 豊饒圏、豊穣化された圏、豊饒化された圏）は、（局所的に小さい）圏における射集合（英語版）を一般のモノイド圏の対象に置き換えて得られる圏の一般化である。 豊穣圏を考える意義は、実際の応用の多くにおいて射集合...

category) と呼ぶこともあるが、加群圏（英語版）は「加群構造を持った圏」すなわちモノイド圏作用（英語版）を持つ圏を意味する語として用いられるため紛らわしい。 左加群の圏、右加群の圏、両側加群の圏はそれぞれアーベル圏を成す。 左加群の圏、右加群の圏、両側加群の圏はそれぞれ十分射影的であり、十分入射的である。...

閉な圏はラムダ計算の自然な設定ができるという点で数理論理学およびプログラミングの理論において特に重要である。デカルト閉圏の概念はモノイド圏に一般化される（モノイド閉圏を参照）。 圏 C がデカルト閉であるとは、以下の三条件 C は終対象を持つ。 C の任意の二対象 X, Y に対し、C はそれらの直積...

抽象代数学におけるモノイド環（モノイドかん、英: monoid ring）あるいはモノイド多元環（モノイドたげんかん、英: monoid algebra; モノイド代数）は、（単位的）環とモノイドから構成される単位的多元環で、多項式環の概念を一般化するものである。 実際、環 R 上の一変数多項式環...

数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。 可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏...

isomorphic) であるという。 前加法圏 / 加法圏 / アーベル圏 完備圏 モノイド閉圏 / デカルト閉圏 トポス 圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏...

は前加法圏とはなり得ない。が、任意の環（をただ一つの対象を持つ小さい圏と見なしたもの）は前加法圏である。 環の圏 Ring は環のテンソル積 ⊗Z をモノイド積、有理整数環 Z を単位対象として対称モノイド圏を成す。これは Ring におけるモノイド対象 とは可換環に他ならないことを述べたエックマン–ヒルトンの定理（英語版）から従う。Ring...

圏論において、モノイド対象（モノイドたいしょう、英: monoid object）(M, μ, η) は、モノイド圏 (C, ⊗, I) が与えられたとき、C の対象 M および二つの射（乗法: μ: M ⊗ M → M および単位射: η: I → M の組を言う。ただし二つの射はそれぞれ、五角形図式...

X\end{aligned}}} が成立する。これらの性質は（同型を等式で置き換えれば）可換モノイドの性質と形の上では同じである。すなわち、有限積を備えた圏は、対称（英語版）モノイド圏を構成する。 有限積および有限余積をもつ圏において、自然な射 X × Y + X × Z → X ×(Y + Z)...

が定義され、ふたたびアーベル群を成す。テンソル積を備えた Ab は対称モノイド圏を成す。 アーベル群の圏 Ab はデカルト閉でない（したがってトポスにもならない）。これは指数対象がないためである。 加群の圏 アーベル圏 アーベル層: アーベル群の圏における多くの事実が、アーベル群の層の圏でも成り立つ。 ^ Pedicchio &...

X\end{aligned}}} の存在が言える。これらの性質は形式的に（同型を等号で置き換えれば）可換モノイドの性質と同様である。すなわち、有限余積を持った圏は対称モノイド圏の例になっている（デカルト圏の項も参照）。 圏が零対象 Z を持てば、一意的な射 X → Z が存在し（Z が終対象であることによる）、したがって射...

数学の一分野である圏論における群の圏（ぐんのけん、英: category of groups）Grp は、群すべてからなる類を対象の類とし、群準同型を射とする圏。作り方からこれは具体圏（英語版）を成す。代数学における群論は、この圏の研究であるとみなすこともできる。 Set を集合の圏、Mon をモノイドの圏として、群の圏...

位相線型空間のテンソル積（英語版） 次数付き線型空間のテンソル積（英語版） 二次形式のテンソル積（英語版） グラフのテンソル積（英語版） テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。 K 上のベクトル空間 V と、K の拡大体 L をとれば、L を...

211 (3rd ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4  テンソル空間 対称代数 外積代数 モノイド圏 フォック空間 tensor algebra in nLab tensor algebra - PlanetMath.（英語） Definition:Tensor...

圏 End(R) = Bimod(R, R) はちょうど通常の R 上のテンソル積、圏のテンソル積をもった R-R 両側加群のモノイド圏である。とくに、R が可換環であれば、すべての左または右 R-加群は自然に R-R 両側加群であり、圏 Bimod(R, R) = R-Mod は対称モノイド圏である。R...

モノイド論において研究される核の概念はわずかに異なる（#代数的核との関係を参照）。 環の圏 Ring において，圏論的な意味での核は存在しない；実際，この圏は零射すらもたない。それにも拘らず，擬環の圏 Rng における核に対応する，環論において研究される核の概念はある。 基点付き位相空間の圏において，f:...

数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、双圏（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はコモナド（英語版）である。...

は x で自然である (natural in x) とも表現される。 自然変換は圏や関手と並んで非常に基本的な構成物であり、随伴、極限、モナド、モノイド圏など多くの場面で自然変換、あるいは射の自然性は議論されている。 圏 C と D に対して、F と G を C から D への関手とするとき、F から...

はそれぞれ A と B の単位元である。A と B がともに可換であればそのテンソル積も可換である。 このテンソル積によりすべての R-代数の圏 R-Alg は対称モノイド圏（英語版）になる。 A や B から A ⊗R B への次で与えられる自然な準同型が存在する： A ↪ A ⊗ B ; a ↦ a ⊗...

圏の圏における射となることが示される。 唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするようなモノイドと同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。...

(db)} , ただし deg は各斉次元の次数を表す。 この定義をより簡潔（だがやや難解）な形で述べれば、次数付き微分環とは鎖複体全体の成すモノイド圏におけるモノイド対象のことである。次数付き微分環の間の次数付き微分準同型 (DG射) とは、微分 d と両立する次数付き多元環の準同型を言う。...

じていて、結合的である）ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。モノイド N から環 R への写像で、有限台をもつ（非零値であるような点が有限個である）もの全体の成す集合は環の構造を持つ。これを R[N] と表して、モノイド N の R に係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。つまり...

タングルを非結合的タングル、準タングルと呼ぶこともある)。準タングルはモノイド圏を成すが、モノイド積に関して (a ⊗ b)⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) は成立しない。Φ はこの両辺の間の同型を与え、五角関係式(モノイド圏のコヒーレンス条件)をみたす。Φ(またはリー代数由来のウェイトシステム...

f ∘ f ∘ g ∘ f のようにして作ることができる。このような鎖の全体は変換モノイドまたは合成モノイドと呼ばれるモノイドの代数的構造を持つ。一般に、変換モノイドは極めて複雑な構造を持つ。特筆すべき例のひとつはド・ラーム曲線（英語版）である。X 上の変換 f: X → X...

{\displaystyle \exists 1\in A,\;1x=x1=x} となることである。圏論的に述べれば、この定義は「単型 R-線型環は R-加群全体の成すモノイド圏 R-Mod におけるモノイド対象である」と言うに等しい。 環 A から始めるならば、単位的結合 R-多元環は、像が環 A の中心に入る環準同型...

をとったものである（これは圏論的直積になる）。 点付き空間の圏における余積は、基点に関する楔和（一点和）で与えられる。 二つの点付き空間のスマッシュ積は本質的に、直積と一点和の商である。注目すべきは、スマッシュ積を備えた点付き空間の圏は 零次元球面 を単位対象とする対称モノイド圏...

終関手（英語版）（あるいは始関手（英語版））の概念は終対象（あるいは始対象）の概念の一般化である。 始対象または終対象 I の自己準同型モノイドは自明である。 End(I) = Hom(I, I) = {idI}. 圏 𝒞 が零対象 0 をもてば、𝒞 の対象の任意のペア X と Y に対して、唯一の合成 X → 0 → Y...