数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、英語: Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば 実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフ...

と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。 アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対...

圏論という数学の分野において，与えられた圏 C の反対圏（はんたいけん，英: opposite category），逆圏（ぎゃくけん）あるいは双対圏（そうついけん，英: dual category）Cop は射を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．逆にする操作を2回やる...

上のルベーグ測度はこれの特別の場合である。 位相アーベル群 A のポントリャーギン双対が局所コンパクトとなる必要十分条件は、A が局所コンパクトであることである。さらにきちんと言えば、ポントリャーギン双対性は局所コンパクトアーベル群の圏における自己双対性を定める。局所コンパクトアーベル群の研究は（非可換な局...

群のユニタリ表現の理論は調和解析と密接な関係にある。群がアーベル群 G の場合には、G の表現論の完全な描像はポントリャーギン双対性によって与えられる。一般に、G の既約ユニタリ表現のユニタリ同値類（下記参照）はそのユニタリ双対 (unitary dual) をなす。この集合は群 C* 環の構成によって G と結びつけられた...

）一般化された固有関数を扱う必要が生じる。一方で群環を構成するのは容易であり、微分のスペクトルがフーリエ変換の基本性質を記述していることが、ポントリャーギン双対によって確認できる。 バナッハ空間上の作用素のスペクトル特性についても研究がなされており、例えばバナッハ空間上のコンパクト作用素は、行列と同...

ポアンカレ予想 ホイン法 ホール多項式 ホッジ双対 ホッジ理論 ホップ代数 E. ホップの拡張定理 ボレル集合 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 ポワソン括弧 ポワンカレ・バーコフ・ヴィットの定理 ポワンカレ予想 ポワンカレの上半平面モデル ポントリャーギン双対 マーティンの公理 マクドナルド恒等式...

般の局所コンパクト群では、そのような技術が使えるとは限らない。得られる理論は調和解析の中心的な部分である。局所コンパクトアーベル群の表現論はポントリャーギン双対によって記述される。 任意のコンパクト群は局所コンパクトである。 任意の離散群は局所コンパクトである。したがって局所コンパクト群の理論は通常...

\mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } は円周群に対する指数写像となる。 円周群はポントリャーギン双対性において中心的な役割を果たし、あるいはリー群論においても重要である。 円周群 T の回転群としての解釈は、標準位相に関して円周群が一次元ト...

可換局所コンパクト群に対する調和解析の理論はポントリャーギン双対性と呼ばれる。これは調和解析の持つ主な特徴を説明する分には十分な内容を持つと考えられる[要出典]。調和解析は、このような双対性とフーリエ変換の性質について研究すること、およびそれらの特徴をもっとほかの状...

。これはガロワ群がコンパクト群であることを意味し、無限次の代数拡大の理論にとって基本的な事実である。 ポントリャーギン双対性により可換コンパクト群の例がたくさん与えられる。これらは可換離散群と双対である。 コンパクト群はすべてハール測度を持ち、それは左右両方の移動によって不変である（モジュラス関数は正の実数...

は群となり、実は局所コンパクトアーベル群になる。ポントリャーギン双対性とは、局所コンパクトアーベル群 G に対して ˆG のユニタリ双対がもとの群 G に等しいことを述べるものである。例えば、整数の加法群 Z の双対群は円周群 S1 であり、実数の加法群 R の双対群は R に同型である。 任意の局所コンパクト群...

局所コンパクト位相群の理論において、プリューファー p 群（に離散位相を入れたもの）は p 進整数のコンパクト群のポントリャーギン双対であり、p 進整数の群はプリューファー p 群のポントリャーギン双対である。 ^ Fuchs 1970, Example 2. ^ a b Vil'yams (2001) ^...

）は日本の数学者。専門は代数学。 愛媛県松山市生まれ。東北帝国大学卒。1945年東北帝国大学教授、後に東北学院大学教授を務めた。ポントリャーギン双対性をコンパクト群へ拡張した淡中-クラインの双対定理で著名。 この定理はグロタンディークによる淡中圏の概念へと発展した。 東京出版の月刊誌『大学への数学』で、「数学...

双対群）で径数付けられることを意味する。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度をそれによる直積分をとることと同一視することによって抽象的に与えられる（ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度は G の双対...

a_{n}/2-ib_{n}/2} とする場合もある。 より一般に、可換位相群 G とそのポントリャーギン双対 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} が与えられたとき、パーシヴァルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ変換がヒルベルト空間 L2(G) と L 2 ( G ^ ) {\displaystyle...

されてきた通常の非位相群について、解析学的に離散群として言及することがある。これはいくつかの場合において実際に有効に応用されており、例えば、ポントリャーギン双対などが得られている。0-次元位相多様体（あるいは可微分多様体や解析的多様体）は離散位相空間に他ならないから、任意の離散群を 0-次元リー群と見ることもできる。...

射有限群の圏論的な意味での双対として、入射有限群 (ind-finite group) の概念が有限群の成す帰納系（順系）の帰納極限（直極限）となる群として定められる。事実としてこの条件は、任意の有限生成部分群が有限であるという条件に同値であり、通常は入射有限とは言わず、局所有限であるという。 ポントリャーギン双対...

定理の一般的な形を提供することである。このことは、ユニタリ双対(unitary dual)上の測度と、G 上の二乗可積分函数の空間 L2(G) の正規表現とユニタリ双対上のL2函数空間の間の同型を構成することで達成される。ポントリャーギン双対とピーター・ワイルの定理（英語版）は、可換群とコンパクトな群でそれぞれ達成された。...

バーナード・コープマン（英語版） ハロルド・クーン ラースロー・ロヴァース アルカディ・ネミロフスキ（英語版） ユーリ・ネステロフ（英語版） ボリス・ポリャク レフ・ポントリャーギン ジェームス・レネガー R・ティレル・ロックフェラー（英語版） コルネリス・ロース ナウム・Z・ショール（英語版） ミカエル・J・トッド...

character formula)で与えられる。 G が可換リー群であれば、既約表現は単純に連続指標である。ポントリャーギン双対性を参照。 商表現は群環の商加群である。 Fq を位数 q で標数 p の有限体とする。G をリー型の有限群、つまり、G は Fq 上に定義された連結簡約群...

についてはさらなる理論も展開される。特に局所コンパクトな位相アーベル群は、調和解析において頻繁に用いられている。 フーリエ変換 ハール測度 ポントリャーギン双対 プロトーラス - コンパクトかつ連結な位相アーベル群 Banaszczyk, Wojciech (1991). Additive subgroups...

クトル値関数に対する積分を定義した。フーリエ変換に関するボホナーの定理（英語版）は1932年の著書に現れている。ボホナーの方法は後年発展したポントリャーギン双対や局所コンパクト群の表現論で真価を発揮した。 続いてボホナーは多重フーリエ級数（英語版）の分野において、ボホナー・リース平均（英語版）を導入...

1934年に、Lev Pontryagin はポントリャーギンの双対定理を証明した。これは位相群に関する結果である。これは（いくらか特別なケースとして）群指標の言葉によるポワンカレ双対とアレクサンダー双対（英語版）の解釈を提供した。 モスクワの1935年のコンフェレンスで、Andrey...

character)以外の指標 χ が P 上で値 1 をとることが容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、T′ を χ の核の部分集合とすることができ、故に T 全体には等しくない。 実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、 χ(P) = 1 となる χ の核の交叉として、<P>...

を割り切る。 有限群 G がアーベル群ならば、その双対群もまた有限で G に（自然でない）同型である。故に（複素係数）群環上の調和解析の道具は有効で、フーリエ変換や畳み込みを定義し、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理、ポントリャーギン双対性などの定理を適用することができる。...

調和解析において定義されるフーリエ変換や畳み込みの概念はプランシュレルの定理・パーセバルの等式・ポントリャーギン双対など多くの定理の枠組みである。群が有限で可換となる場合は理論が極めて単純となる。フーリエ変換は有限和となり、双対群はもとの群と同型になる。有限可換群上の調和解析は特に合同算術や情報理論において多くの応用がある。...

f_{k}^{*}(g_{i})} は f k ( g i ) {\displaystyle f_{k}(g_{i})} の複素共役である。 ポントリャーギン双対 See chapter 6 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number...

この群に離散位相を入れたものは Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} のポントリャーギン双対とみなすこともできる ( μ n {\displaystyle \mu _{n}} を円周群の部分群とみなせば)。もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、...

射トーラス）とはコンパクトな連結位相アーベル群のことを言う。または同値であるが、トーラス（円周群）の有限個の直積位相群）の射影極限、あるいは捩れのない離散アーベル群のポントリャーギン双対でもある。 プロトーラスのいくつかの例は、管状群（英語版）によって与えられる。 Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney...

がリー群であってコンパクトでも可換でもなければ、これは調和解析の難しい問題である。局所コンパクト可換群の場合は、ポントリャーギンの双対性の理論の一部である。 基本表現（英語版） 置換表現（英語版） 準正則表現（英語版） Fulton, William; Harris, Joe...