策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory），是数学基础中最常用的一階公理化集合论。含选择公理時常简写为ZFC，不含選擇公理的則簡寫為ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合理论所提出的一个公理系统。...

不過上述的爭論沒有使數學家放棄集合論，恩斯特·策梅洛及亚伯拉罕·弗兰克尔分別在1908年和1922年的研究．最後產生了策梅洛-弗兰克尔集合论的許多公理。昂利·勒貝格等人在實分析上的研究用到集合論中的許多數學工具，後來集合論也成為近代數學的一部份。集合論已被視為是數學的基礎理論，不過在一些領域中范畴论被認為是更適合的基礎理論。...

元素a都对应着形如{a}的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素a它也包含对应的集合{a}作为元素”。 公认的标准集合论是策梅洛-弗兰克尔集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。（后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通过外延性{a...

以下列出了这篇条目中各种與“选择公理”相關的缩写： AC：选择公理。 ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。 ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。 直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合 X {\displaystyle X} 之后，當時的数学家可能會直接说「设对于...

ZF可以指： 策梅洛-弗兰克尔集合论； 采埃孚，一家德国机械公司。 政府的缩写，用于规避审查。...

。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。...

亚伯拉罕·弗伦克尔（德語：Adolf Abraham Halevi Fraenkel，希伯來語：אברהם הלוי אברהם הלוי פרנקל，1891年2月17日—1965年10月15日）是一位犹太裔德国数学家，策梅洛-弗兰克尔集合论的提出者之一，1956年获以色列奖。 Israel Prize...

数学主题 哲学主题 公理模式 模型论——從數理邏輯的角度對數學結構的一類研究 哥德尔不完备定理——定理一個廣泛的邏輯系統不能既一致又完整 希尔伯特演绎系统 希爾伯特第六問題 逻辑史 邏輯主義 策梅洛-弗兰克尔集合论 如果所赋予的意义是现实世界中的对象和关系，而不是像抽象模型...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，替代公理模式（英語：axiom schema of replacement）是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的一个公理模式，它本质上断言一个集合在一个映射（泛函谓词）下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。 假定 P 是一个雙变量谓词，对于任何集合...

恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛（德語：Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，德語發音：[tsɛɐ̯ˈmeːlo]，1871年7月27日—1953年5月21日）是一名德國邏輯學家和數學家，他的工作對數學基礎產生了重大影響。他因在發展策梅洛-弗蘭克爾公理集合論...

冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以类為直觀動機的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of...

在数学学科集合论中，力迫是保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与策梅洛-弗兰克尔公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对策梅洛-弗兰克尔集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified...

如果形式系统中的定理集是递归可列举的集合(Franzén 2004, p. 112)，那么该形式系统是"有效公理化的"(也被称为“生成定理的有效性”)。 这意味着，在原则上计算机程序能够列举出系统中所有的定理，而不列出任何非定理的陈述。皮亚诺公理和策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZFC) 都是有效生成定理的例子。...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理（英語：Axiom of infinity）是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作： ∃ N : ∅ ∈ N ∧ ( ∀ x : x ∈ N ⟹ x ∪ { x } ∈ N )...

1908年，恩斯特·策梅洛提出了被称作策梅洛-弗兰克尔集合论（或ZFC）的公理化集合论。该理论采用了选择公理，并作为数学的基础理论存在，因所有的数学对象均可通过集合论中的概念来解释。而英国哲学家和逻辑学家伯特兰·罗素则提出了类型论作为集合论的替代理论。 同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者、弗拉基米尔...

慮的函數都是可微的。函數的概念於19世紀末在集合論中被形式化，這大大擴展了這個概念的應用領域。 若 x {\displaystyle x} 是實數，以有序對 ( x , x 2 ) {\displaystyle (x,\,x^{2})} 為元素所構成的集合就是一個函数。直觀上代表「輸入」 x {\displaystyle...

集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。 數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法 數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學，特別是歐幾裡得的《幾何原本》。 直到19 世紀，歐幾裡得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而，在19 世紀末，希爾...

在纯数学中，朴素集合论是探討数学基础時，用到的幾個集合論中的一個，朴素集合论主要是將用一般語言的形式處理集合問題，依赖於把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定義而產生的公理化集合论不同。 而公理化集合论...

策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。 对定理的最初证明的解释请参见哥德尔完备性定理的最初证明。 在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用Leon Henkin的证明而不是哥德尔最初的证明。 紧致性定理 可靠性定理 哥德尔定理 哥德尔不完备性定理 模型论 Kurt Gödel...

仅当它对应的严格偏序是良基的。如果这个序还是全序，那么此时称这个序为良序。 在集合论中，一个集合 x 称为是一个良基集合，如果集成员关系在 x 的传递闭包上是良基的。策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则公理，就是断言所有的集合都是良基的。 良基关系之所以引人关注的一个重要原因是因为超限归纳法的一个版本可以应用到它上面。(X...

策梅洛-弗兰克尔集合论中並不是一個集合。但是这不是个严重的困难。我们称序数是在这个类中任何集合的序类型。 序数的最初定义，例如在《数学原理》中，把一個良序的序类型定義为，由类似（序同构）于这个良序的所有良序組成的集合。换句话说，序数是良序集合的等价类。这个定义在ZF和相关的公理化集合论...

\forall x,P[x].} 此公理等价于策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则性公理，即斷言所有集合皆良基。 Forster, Thomas. 8 - Set theory [第8章：集合論]. Logic, Induction and Sets [邏輯、歸納法、集合]. Cambridge University...

策梅洛-弗兰克尔集合论是现代数学集合论事实上的标准公理。 他们可以很容易的应用于类似的理论，如分体论 (逻辑学)。 不含选择公理时简写为ZF。 外延公理 空集公理 配对公理 并集公理 无穷公理 替代公理 幂集公理 正则性公理 分类公理 参见 策梅洛集合论。 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论...

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。 使用分類公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A {\displaystyle A} 是集合，则分离公理允许构造集合 B = { x ∈ A | x...

集合。在數學上，學者建構此類集合以為形式集合論提供關於長度、面積、體積等觀念的資訊。在策梅洛-弗蘭克爾集合論的架構下，選擇公理蘊含了實數集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 有不可測的子集。 自不可測集的提出以來，這觀念掀起了許多的爭議，在歷史上，這曾使得博雷爾以及柯爾...

{\displaystyle A} 本身是集合，但可視作命題——只要命題在這數下成立，數字就會收入集合。別於皮亞諾公設，將數學歸納法定為公設，ZFC集合論直接定義自然數，使得歸納法本身是定理而非公設。 皮亞諾公理視數學歸納法不證自明，設作公理，而於策梅洛-弗兰克尔集合论...

在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合...

发的Automath系统（1967年），以及20世纪80年代Coq和Isabelle等工具的诞生。其技术实现依赖于对形式系统（如直觉逻辑、策梅洛-弗兰克尔集合论）的严格编码，并通过柯里-霍华德同构（Curry-Howard Correspondence）将数学命题的证明过程映射为可执行的计算程序。...

} 为一般數學的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论...

說謊者悖论 鱷魚悖論 苏格拉底悖论 唐·吉诃德悖论 皮諾丘悖論 連鎖悖論（堆垛悖論） 道家悖論 全能悖論 四句 (佛教) 一切法不受悖論 柯里悖論 佩里悖論（英语：Berry paradox） 芝诺悖论： 飞矢不动 游行队伍悖论 阿基里斯悖論 两分法悖论 湯姆生的燈悖論 說謊者悖論 集合论悖论 罗素悖论（书目悖论）...

在數學的集合論中，梭羅維模型是一個由羅伯特·M·梭羅維（英语：Robert M. Solovay）在1970年建構的模型。在這模型中，策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）所有的公理成立，但不包括選擇公理；而在此模型中所有的集合都是勒貝格可測的。這個模型的建構仰賴於不可達基數的存在。...