策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory），是数学基础中最常用的一階公理化集合论。含选择公理時常简写为ZFC，不含選擇公理的則簡寫為ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合理论所提出的一个公理系统。...

元素a都对应着形如{a}的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素a它也包含对应的集合{a}作为元素”。 公认的标准集合论是策梅洛-弗兰克尔集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。（后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通过外延性{a...

不過上述的爭論沒有使數學家放棄集合論，恩斯特·策梅洛及亚伯拉罕·弗兰克尔分別在1908年和1922年的研究．最後產生了策梅洛-弗兰克尔集合论的許多公理。昂利·勒貝格等人在實分析上的研究用到集合論中的許多數學工具，後來集合論也成為近代數學的一部份。集合論已被視為是數學的基礎理論，不過在一些領域中范畴论被認為是更適合的基礎理論。...

策梅洛-弗兰克尔集合论是现代数学集合论事实上的标准公理。 他们可以很容易的应用于类似的理论，如分体论 (逻辑学)。 不含选择公理时简写为ZF。 外延公理 空集公理 配对公理 并集公理 无穷公理 替代公理 幂集公理 正则性公理 分类公理 参见 策梅洛集合论。 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论...

亚伯拉罕·弗伦克尔（德語：Adolf Abraham Halevi Fraenkel，希伯來語：אברהם הלוי אברהם הלוי פרנקל‎，1891年2月17日—1965年10月15日）是一位犹太裔德国数学家，策梅洛-弗兰克尔集合论的提出者之一，1956年获以色列奖。 Israel Prize...

恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛（德語：Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，德语发音：[tsɛɐ̯ˈmeːlo]，1871年7月27日—1953年5月21日）是一名德國邏輯學家和數學家，他的工作對數學基礎產生了重大影響。他因在發展策梅洛-弗蘭克爾公理集合論...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理（英語：Axiom of infinity）是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作： ∃ N : ∅ ∈ N ∧ ( ∀ x : x ∈ N ⟹ x ∪ { x } ∈ N )...

以下列出了这篇条目中各种與“选择公理”相關的缩写： AC：选择公理。 ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。 ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。 直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合 X {\displaystyle X} 之后，當時的数学家可能會直接说「设对于...

ZF可以指： 策梅洛-弗兰克尔集合论； 采埃孚，一家德国机械公司。 政府的缩写，用于规避审查。...

\forall x,P[x].} 此公理等价于策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则性公理，即斷言所有集合皆良基。 Forster, Thomas. 8 - Set theory [第8章：集合論]. Logic, Induction and Sets [邏輯、歸納法、集合]. Cambridge University...

冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以类為直觀動機的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of...

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，替代公理模式（英語：axiom schema of replacement）是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的一个公理模式，它本质上断言一个集合在一个映射（泛函谓词）下的像也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。 假定 P 是一个雙变量谓词，对于任何集合...

在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合...

集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。 數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法 數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學，特別是歐幾裡得的《幾何原本》。 直到19 世紀，歐幾裡得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而，在19 世紀末，希爾...

} 为一般數學的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论...

1908年，恩斯特·策梅洛提出了被称作策梅洛-弗兰克尔集合论（或ZFC）的公理化集合论。该理论采用了选择公理，并作为数学的基础理论存在，因所有的数学对象均可通过集合论中的概念来解释。而英国哲学家和逻辑学家伯特兰·罗素则提出了类型论作为集合论的替代理论。 同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者、弗拉基米尔...

策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。 对定理的最初证明的解释请参见哥德尔完备性定理的最初证明。 在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用Leon Henkin的证明而不是哥德尔最初的证明。 紧致性定理 可靠性定理 哥德尔定理 哥德尔不完备性定理 模型论 Kurt Gödel...

Yakovlevich Suslin）提出關於全序集合的問題，在1920年提出，這問題在他死後出版。目前已知這問題獨立於標準的集合論公理系統，也就是帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論。梭羅維和滕博姆（Tennenbaum, S.）在1971年證明：在假定策梅洛-弗蘭克爾集合論一致的狀況下，這問題無法證明或反證。...

在数学学科集合论中，力迫是保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与策梅洛-弗兰克尔公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对策梅洛-弗兰克尔集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified...

在纯数学中，朴素集合论是探討数学基础時，用到的幾個集合論中的一個，朴素集合论主要是將用一般語言的形式處理集合問題，依赖於把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定義而產生的公理化集合论不同。 而公理化集合论...

集合。在數學上，學者建構此類集合以為形式集合論提供關於長度、面積、體積等觀念的資訊。在策梅洛-弗蘭克爾集合論的架構下，選擇公理蘊含了實數集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 有不可測的子集。 自不可測集的提出以來，這觀念掀起了許多的爭議，在歷史上，這曾使得博雷爾以及柯爾...

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。 使用分類公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A {\displaystyle A} 是集合，则分离公理允许构造集合 B = { x ∈ A | x...

。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。...

仅当它对应的严格偏序是良基的。如果这个序还是全序，那么此时称这个序为良序。 在集合论中，一个集合 x 称为是一个良基集合，如果集成员关系在 x 的传递闭包上是良基的。策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则公理，就是断言所有的集合都是良基的。 良基关系之所以引人关注的一个重要原因是因为超限归纳法的一个版本可以应用到它上面。(X...

ZFC是策梅洛-弗蘭克爾集合論的簡寫。 ZFC也可以指： 薛雅殊邁亞足球會（Zeyar Shwe Myay F.C.），一支位於緬甸蒙育瓦的職業足球會 浙江职业足球俱乐部（Zhejiang Professional F.C.）一支位於中國杭州的足球俱樂部 薛高足球中心（Zico Football...

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的： 強不可達基數的存在性 大基數的存在性 庫瑞巴樹（英语：Kurepa tree）的存在性 下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論...

在數學的集合論中，梭羅維模型是一個由羅伯特·M·梭羅維（英语：Robert M. Solovay）在1970年建構的模型。在這模型中，策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）所有的公理成立，但不包括選擇公理；而在此模型中所有的集合都是勒貝格可測的。這個模型的建構仰賴於不可達基數的存在。...

数学主题 哲学主题 公理模式 模型论——從數理邏輯的角度對數學結構的一類研究 哥德尔不完备定理——定理一個廣泛的邏輯系統不能既一致又完整 希尔伯特演绎系统 希爾伯特第六問題 逻辑史 邏輯主義 策梅洛-弗兰克尔集合论 如果所赋予的意义是现实世界中的对象和关系，而不是像抽象模型...

集合。為了避免非法構成集合，必須只使用ZFC中的謂詞來定義子集。 句法學方法的另一個例子是代替集合論，由Petr Vopěnka（英语：Petr Vopěnka）引進。此理論試圖尋找一套比策梅洛-弗蘭克爾集合論更適合於非標準分析的公理系統。 卡尔·魏尔...

在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。 集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統，称為Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議...

在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。 改进版本的类型论...