تكامل ناقصي - ويكيبيديا

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الناقصية^[1][2][3] أو التكاملات الإهليلجية^[4] (بالإنجليزية: Elliptic integral)‏ في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو ^{[الإنجليزية]} وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,\mathrm {d} t,}$

حيث R هي دالة كسرية ذات متغيرين، و P هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و c هو ثابت.

عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.

التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.

• α: الاختلاف المركزي الزاوي ^{[الإنجليزية]}
• k = sin α: الاختلاف المركزي.
• m = k² = sin² α: الوسيط

يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F بـ:

${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:

${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.}$

بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}$

في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.

تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:

${\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

شكل جاكوبي:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:

${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}$

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$

حيث a هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و e هو إختلافه المركزي.

تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π على الشكل المثلثي:

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}$

أو

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.}$

يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن ${\displaystyle \Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)}$ لانهائي، مهما كان m.

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ أيضا بدلالة Π:

${\displaystyle m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).}$

هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي π/2، وبالتالي x=1.

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول K بـ:

${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}$

يمكن استخدام مفكوكه:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}$

يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:

${\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني E بـ:

${\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t}$.

بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي ${\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:

${\displaystyle c=4aE(e)}$

يمكن استخدام مفكوكه:

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}$

حيث ${\displaystyle n!!}$ هو عاملي ثنائي.

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π بـ:

${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$

يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة n،

${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$

• منحنى إهليلجي