حلم الطالب الجامعي - ويكيبيديا

بما أن ${\displaystyle x^{x}}$ يمكن كتابتها على هذا النحو

${\displaystyle x^{x}=\exp(x\ln x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}.}$

وبأخذ تكامل الطرفين

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\,dx.}$

وباستخدام التكامل بالتجزيء على ${\displaystyle \scriptstyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx}$ بحيث u = (ln x)ⁿ وdv = x^m dx، نحصل على

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1}}{x}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}$

راجع قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية.

وبالإستقراء الرياضي نجد

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}}$

حيث (n) _i عاملي السقوط.

وبما أن m = n عددان صحيحان ومتسوايان.فإذاً

${\displaystyle \int x^{n}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}.}$

وبالتكامل من (0,1) تختفي لدينا الحدود عند 0 ويبقى الحد الذي عند 1 لإن ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\ln x)^{n}\,=\,0}$ وفق قاعدة لوبتال، وبما أن ln(1) = 0, نجد:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\;dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$

وبايجاد المجموع (وبتبديل نقطة البداية إلى n = 1بدلا من n = 0) نحصل على النتيجة.