عزم القصور الذاتي (بالإنجليزية: Moment of inertia) أو عزم العطالة، يحسب العزم اللازم للتسارع الزاوي حول محور الدوران للجسم الصلب. يعتمد هذا على توزيع الكتلة للجسم وعلى المحور المختار، مع وجود عزوم أكبر يتطلب المزيد من العزم لتغيير دوران الجسم. هو عبارة عن قيمة مضافة، عزم القصور الذاتي لنظام مركب هو مجموع عزوم القصور الذاتي لأنظمته الفرعية المكونة له (جميعها حول نفس المحور). إحدى تعريفاته هي العزم الثاني للكتلة بالنسبة للمسافة من المحور (ص)
إن لحظة القصور الذاتي، والمعروفة باسم عزم الكتلة من القصور الذاتي، أو الكتلة الزاوية أو القصور الذاتي الدوراني، لجسم صلب هي كمية تحدد عزم الدوران المطلوب للتسارع الزاوي المطلوب حول محور الدوران، على غرار كيفية تحديد الكتلةللقوة المطلوبة للتسارع المطلوب. يعتمد ذلك على توزيع كتلة الجسم والمحور المختار، حيث تتطلب اللحظات الأكبر مزيدًا من عزم الدوران لتغيير معدل دوران الجسم.
إنها خاصية (مضافة) واسعة النطاق: بالنسبة للكتلة النقطية، فإن لحظة القصور الذاتي هي ببساطة الكتلة مضروبة في مربع المسافة العمودية على محور الدوران. لحظة القصور الذاتي للنظام المركب الصلب هي مجموع لحظات القصور الذاتي للأنظمة الفرعية المكونة له (كلها تقريبًا نفس المحور). أبسط تعريف لها هو اللحظة الثانية للكتلة بالنسبة إلى المسافة من المحور.
عن جثث مقيدة للتدوير في طائرة، فقط لحظة من الجمود حول عمودي محور إلى الطائرة، والعددية القيمة، المسائل. بالنسبة للأجسام التي تتمتع بحرية الدوران في ثلاثة أبعاد، يمكن وصف لحظاتها بـ 3 متماثل × 3 مصفوفة، مع مجموعة من المحاور الرئيسية المتعامدة بشكل متبادل والتي تكون فيها هذه المصفوفة قطرية وتعمل عزم الدوران حول المحاور بشكل مستقل عن بعضها البعض.
بالنسبة للأجسام المقيدة بالدوران في المستوى، فيكفي أن تعتبر عزم قصورها الذاتي حول محور عمودي على المستوى. بالنسبة للأجسام الحرة الدوران حول ثلاثة أبعاد فإن عزومه يمكن وصفها عن طريق مصفوفة متماثلة 3X3.
يمكن وصف سهولة تغيير سرعة الدوران لجسم من خلال عزم القصور الذاتي. لو فرضنا قرصين متساويين في الكتلة وأحدهما ذو قطر أو أسطوانة أوسع من الآخر سنلاحظ أن القرص ذو القطر الأوسع يحتاج لبذل جهد أكبر لتدويره لسرعة دورانية متساوية والعكس صحيح حيث يظل القرص ذو القطر الأكبر محافظا على دورانه لفترة أطول من الآخر.
عندما يكون الجسم حرًا في الدوران حول محور، يجب تطبيق عزم الدوران لتغيير زخمه الزاوي. كمية العزم اللازمة لإحداث أي تسارع زاوي معين (معدل التغير في السرعة الزاوية) تتناسب مع لحظة القصور الذاتي للجسم. يمكن التعبير عن لحظة القصور الذاتي بوحدات الكيلوغرام المتر المربع (kg · m 2) بوحدات SI ورطل قدم مربع (lbf · ft · s 2) في الوحدات الإمبراطورية أو الأمريكية.
تلعب لحظة القصور الذاتي دورًا في حركية الدوران التي تلعبها الكتلة (القصور الذاتي) في حركية خطية — كلاهما يميزان مقاومة الجسم للتغيرات في حركته. تعتمد لحظة القصور الذاتي على كيفية توزيع الكتلة حول محور الدوران، وستختلف وفقًا للمحور المختار. بالنسبة لكتلة تشبه النقطة، يتم إعطاء لحظة القصور الذاتي حول بعض المحاور بواسطة ، أين هي مسافة النقطة من المحور، و هي الكتلة. بالنسبة لجسم صلب ممتد، فإن لحظة القصور الذاتي هي مجرد مجموع كل القطع الصغيرة من الكتلة مضروبة في مربع مسافاتها من المحور في الدوران. بالنسبة للجسم الممتد ذي الشكل المنتظم والكثافة المنتظمة، ينتج هذا الجمع أحيانًا تعبيرًا بسيطًا يعتمد على الأبعاد والشكل والكتلة الإجمالية للجسم.
في عام 1673 قدم كريستيان هيغنز هذه المعلمة في دراسته لتذبذب الجسم المتدلي من محور، المعروف باسم البندول المركب.[2] تم تقديم مصطلح لحظة القصور الذاتي من قبل ليونارد أويلر في كتابه عناصر من الجسم (اسم الكتاب باللاتينية: Theoria motus corporum Solidorum seu rigidorum) في عام 1765، [2][3] وتم دمجه في قانون أويلر الثاني.
يتم الحصول على التردد الطبيعي لتذبذب البندول المركب من نسبة عزم الدوران التي تفرضها الجاذبية على كتلة البندول إلى مقاومة التسارع المحددة بواسطة لحظة القصور الذاتي. توفر مقارنة هذا التردد الطبيعي بتردد البندول البسيط المكون من نقطة واحدة للكتلة صيغة رياضية للحظة القصور الذاتي للجسم الممتد.[4][5]
تظهر لحظة القصور الذاتي أيضًا في الزخموالطاقة الحركيةوقوانين نيوتن للحركة لجسم صلب كمعامل فيزيائي يجمع بين شكله وكتلته. هناك اختلاف مثير للاهتمام في طريقة ظهور لحظة القصور الذاتي في الحركة المستوية والمكانية. تحتوي الحركة المستوية على عدد قياسي واحد يحدد لحظة القصور الذاتي، بينما تنتج نفس الحسابات للحركة المكانية 3 × 3 مصفوفة من لحظات القصور الذاتي، تسمى مصفوفة القصور الذاتي أو موتر القصور الذاتي.[6][7]
تُستخدم لحظة القصور الذاتي في دولاب الموازنة الدوارة في آلة لمقاومة التغيرات في عزم الدوران المطبق لتنعيم ناتج الدوران. تحدد لحظة القصور الذاتي للطائرة حول محاورها الطولية والأفقية والرأسية كيف تؤثر قوى التوجيه على أسطح التحكم في أجنحتها والمصاعد والدفة (الدفات) على حركات الطائرة في التدحرج والميل والانعراج.
إذا كان الزخم الزاوي لنظام ما ثابتًا، فعندئذٍ مع تقلص لحظة القصور الذاتي، يجب زيادة السرعة الزاوية. يحدث هذا عندما يسحب المتزلجون على الجليد أذرعهم الممدودة أو يقوم الغواصون بلف أجسادهم في وضع الثني أثناء الغوص، للدوران بشكل أسرع.[8][10][11][12][13][14][15]
بالنسبة إلى البندول البسيط، ينتج عن هذا التعريف معادلة لحظة القصور الذاتي I من حيث الكتلة m للبندول والمسافة r من النقطة المحورية،
وبالتالي، فإن لحظة القصور الذاتي للبندول تعتمد على كل من كتلة الجسم m وشكله، أو شكله، كما هو محدد بالمسافة r إلى محور الدوران.
تُعمم هذه الصيغة البسيطة لتعريف لحظة القصور الذاتي لجسم تم تشكيله بشكل تعسفي كمجموع كل كتل النقطة الأساسية dm كل مضروب في مربع المسافة العمودية r إلى المحور k. وبالتالي، فإن لحظة القصور الذاتي للجسم التعسفي تعتمد على التوزيع المكاني لكتلته.
بشكل عام، بالنظر إلى كائن كتلته m، يمكن تحديد نصف قطر فعال k، اعتمادًا على محور دوران معين، مع هذه القيمة بحيث تكون لحظة القصور الذاتي حول المحور
يمكن قياس لحظة القصور الذاتي باستخدام بندول بسيط، لأنها مقاومة للدوران الذي تسببه الجاذبية. من الناحية الحسابية، فإن لحظة القصور الذاتي للبندول هي نسبة عزم الدوران بسبب الجاذبية حول محور البندول إلى تسارعه الزاوي حول نقطة المحور تلك. بالنسبة للبندول البسيط، وجد أن هذا هو نتاج كتلة الجسيم مع مربع المسافة إلى المحور، هذا هو
يمكن توضيح ذلك على النحو التالي: تولد قوة الجاذبية على كتلة بندول بسيط عزمًا حول المحور العمودي على مستوى حركة البندول. هنا هو متجه المسافة عمودي على ومن القوة إلى محور عزم الدوران، و هي القوة الكلية المؤثرة على الكتلة. يرتبط بهذا العزم تسارع زاوية، ، من الخيط والكتلة حول هذا المحور. بما أن الكتلة مقيدة بدائرة، فإن التسارع المماسي للكتلة هو . منذ تصبح معادلة عزم الدوران:
أين هو متجه وحدة عمودي على مستوى البندول. (تستخدم الخطوة الثانية إلى الأخيرة تمدد المنتج الثلاثي المتجه بعمودية و .) الكمية هي لحظة القصور الذاتي لهذه الكتلة المفردة حول النقطة المحورية.
الكمية يظهر أيضًا في الزخم الزاوي للبندول البسيط، والذي يُحسب من السرعة من كتلة البندول حول المحور، أين هي السرعة الزاوية للكتلة حول النقطة المحورية. يتم إعطاء هذا الزخم الزاوي بواسطة
باستخدام اشتقاق مشابه للمعادلة السابقة.
وبالمثل، يتم تحديد الطاقة الحركية لكتلة البندول من خلال سرعة البندول حول المحور لإنتاج
هذا يدل على أن الكمية هي كيف تتحد الكتلة مع شكل الجسم لتعريف القصور الذاتي الدوراني. لحظة القصور الذاتي للجسم المتشكل بشكل تعسفي هي مجموع القيم لجميع عناصر الكتلة في الجسم.
البندول المركب عبارة عن جسم يتكون من مجموعة من الجسيمات ذات الشكل المستمر والتي تدور بشكل صارم حول محور. لحظة القصور الذاتي لها هي مجموع لحظات القصور الذاتي لكل من الجزيئات التي تتكون منها.[16][17]:395–396[18]:51–53الترددالطبيعي () بندول مركب يعتمد على لحظة قصوره الذاتي، ،
أين هي كتلة الجسم، هو تسارع الجاذبية المحلي، و هي المسافة من النقطة المحورية إلى مركز كتلة الجسم. يوفر قياس تردد التذبذب هذا على عمليات الإزاحة الزاوية الصغيرة طريقة فعالة لقياس لحظة القصور الذاتي للجسم.[19]:516–517
وبالتالي، لتحديد لحظة القصور الذاتي للجسم، ما عليك سوى تعليقه من نقطة محورية مناسبة بحيث يتأرجح بحرية في مستوى عمودي على اتجاه لحظة القصور الذاتي المطلوبة، ثم يقيس تردده الطبيعي أو فترة التذبذب ()، ليحصل
أين هي فترة (مدة) التذبذب (عادة ما يتم حساب متوسطها على فترات متعددة).
البندول البسيط الذي له نفس التردد الطبيعي مثل البندول المركب يحدد الطول من المحور إلى نقطة تسمى مركز تذبذب البندول المركب. تتوافق هذه النقطة أيضًا مع مركز الإيقاع. الطول يتم تحديده من الصيغة،
أو
يستغرق بندول الثواني، الذي يوفر «علامة» و «تدق» ساعة الجد، ثانية واحدة للتأرجح من جانب إلى آخر. هذه فترة ثانيتين، أو تكرار طبيعي لـ للبندول. في هذه الحالة، المسافة إلى مركز التذبذب، ، يمكن حسابها لتكون
لاحظ أنه يجب تعديل المسافة إلى مركز تذبذب بندول الثواني لتلائم القيم المختلفة لتسارع الجاذبية المحلي. بندول كاتر هو بندول مركب يستخدم هذه الخاصية لقياس التسارع المحلي للجاذبية، ويسمى مقياس الجاذبية.
يمكن قياس لحظة القصور الذاتي لنظام معقد مثل مركبة أو طائرة حول محوره الرأسي عن طريق تعليق النظام من ثلاث نقاط لتشكيل بندول ثلاثي. البندول الثلاثي هو عبارة عن منصة مدعومة بثلاثة أسلاك مصممة للتأرجح في الالتواء حول محورها المركزي الرأسي.[20] فترة تذبذب البندول الثلاثي تعطي لحظة من القصور الذاتي للنظام.[21]
يتم حساب لحظة القصور الذاتي حول محور الجسم عن طريق الجمع لكل جسيم في الجسم، أين هي المسافة العمودية على المحور المحدد. لمعرفة كيف تنشأ لحظة القصور الذاتي في دراسة حركة الجسم الممتد، من المناسب التفكير في تجميع جامد للكتل النقطية. (يمكن استخدام هذه المعادلة للمحاور التي ليست محاور رئيسية بشرط أن يكون مفهوماً أن هذا لا يصف بشكل كامل لحظة القصور الذاتي.[22])
ضع في اعتبارك الطاقة الحركية لتجميع الجماهير التي تقع في المسافات من النقطة المحورية ، وهي أقرب نقطة على محور الدوران. هو مجموع الطاقة الحركية للكتل الفردية، [19]:516–517[23]:1084–1085[23]:1296–1300
هذا يدل على أن لحظة القصور الذاتي للجسم هي مجموع كل من الشروط، هذا هو
وبالتالي، فإن لحظة القصور الذاتي هي خاصية فيزيائية تجمع بين كتلة الجسيمات وتوزيعها حول محور الدوران. لاحظ أن الدوران حول محاور مختلفة لنفس الجسم ينتج عنه لحظات مختلفة من القصور الذاتي.
يتم حساب لحظة القصور الذاتي لجسم مستمر يدور حول محور محدد بنفس الطريقة، باستثناء عدد لا نهائي من الجسيمات النقطية. وهكذا يتم إزالة حدود الجمع، ويتم كتابة المجموع على النحو التالي:
هنا، الوظيفة يعطي كثافة الكتلة في كل نقطة ، هو متجه عمودي على محور الدوران ويمتد من نقطة على محور الدوران إلى نقطة في الصلب، ويتم تقييم التكامل على مستوى الحجم من الجسم . تتشابه لحظة القصور الذاتي لسطح مستو مع كثافة الكتلة التي يتم استبدالها بكثافة الكتلة المساحية مع تقييم التكامل على مساحتها.
ملاحظة في اللحظة الثانية من المنطقة : غالبًا ما يتم الخلط بين لحظة القصور الذاتي لجسم يتحرك في مستو واللحظة الثانية لمنطقة المقطع العرضي للحزمة. لحظة القصور الذاتي للجسم مع شكل المقطع العرضي هي اللحظة الثانية من هذه المنطقة حول - المحور العمودي على المقطع العرضي مرجحًا بكثافته. وهذا ما يسمى أيضًا باللحظة القطبية للمنطقة، وهو مجموع اللحظات الثانية حول - و - المحاور.[24] يتم حساب الضغوط في الحزمة باستخدام اللحظة الثانية من منطقة المقطع العرضي حول أي منهما -محور أو - المحور حسب الحمولة.
تبدأ لحظة القصور الذاتي للبندول المركب من قرص رفيع مركب في نهاية قضيب رفيع يتأرجح حول محور في الطرف الآخر من القضيب، ويبدأ بحساب لحظة القصور الذاتي للقضيب الرفيع والقرص الرفيع حول مراكز الكتلة الخاصة بهم.[23]
توفر قائمة لحظات معادلات القصور الذاتي لأشكال الجسم القياسية طريقة للحصول على لحظة القصور الذاتي للجسم المعقد كتجميع لأجسام ذات أشكال أبسط. تُستخدم نظرية المحور المتوازي لتحويل النقطة المرجعية للأجسام الفردية إلى النقطة المرجعية للتجميع.
كمثال آخر، ضع في اعتبارك لحظة القصور الذاتي للكرة الصلبة ذات الكثافة الثابتة حول محور من خلال مركز كتلته. يتم تحديد ذلك من خلال جمع لحظات القصور الذاتي للأقراص الرقيقة التي تشكل الكرة. إذا تم تعريف سطح الكرة بالمعادلة [23]:1301
ثم مربع نصف القطر من القرص في المقطع العرضي على طول -المحور هو
لذلك، فإن لحظة القصور الذاتي للكرة هي مجموع لحظات القصور الذاتي للأقراص على طول -محور،
إذا كان النظام الميكانيكي مقيدًا بالتحرك بالتوازي مع مستوى ثابت، فإن دوران الجسم في النظام يحدث حول محور عمودي على هذا المستوى. في هذه الحالة، فإن لحظة القصور الذاتي للكتلة في هذا النظام هي رقم قياسي يُعرف بالعزم القطبي للقصور الذاتي. يمكن الحصول على تعريف العزم القطبي للقصور الذاتي من خلال النظر في الزخم والطاقة الحركية وقوانين نيوتن للحركة المستوية لنظام جامد من الجسيمات.[16][19][25][26]
إذا كان نظام حبيبات، ، يتم تجميعها في جسم صلب، ثم يمكن كتابة زخم النظام من حيث المواضع بالنسبة إلى نقطة مرجعية ، والسرعات المطلقة :
أين هي السرعة الزاوية للنظام و هي سرعة .
بالنسبة للحركة المستوية، يتم توجيه متجه السرعة الزاوية على طول متجه الوحدة وهو عمودي على مستوى الحركة. قدم نواقل الوحدة من النقطة المرجعية لنقطة ، وناقل الوحدة ، وبالتالي
يحدد هذا متجه الموقع النسبي ومتجه السرعة للنظام الصلب للجسيمات المتحركة في المستوى.
ملاحظة حول الضرب العرضي : عندما يتحرك الجسم بشكل موازٍ لمستوى الأرض، فإن مسارات جميع النقاط في الجسم تقع في مستويات موازية لمستوى الأرض هذا. هذا يعني أن أي دوران يخضع له الجسم يجب أن يكون حول محور عمودي على هذا المستوى. غالبًا ما يتم تقديم الحركة المستوية على أنها مسقطة على مستوى الأرض هذا بحيث يظهر محور الدوران كنقطة. في هذه الحالة، تعتبر السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم عددًا قياسيًا ويتم تجاهل حقيقة كونهما متجهين على طول محور الدوران. هذا هو المفضل عادة لمقدمات الموضوع. ولكن في حالة القصور الذاتي، فإن الجمع بين الكتلة والهندسة يستفيد من الخصائص الهندسية للمنتج المتقاطع. لهذا السبب، في هذا القسم الخاص بالحركة المستوية، تكون السرعة الزاوية والتسارع للجسم نواقل متعامدة على مستوى الأرض، وعمليات الضرب العرضية هي نفسها المستخدمة في دراسة حركة الجسم الصلبة المكانية.
لحظة الجمود حول محور عمودي على حركة النظام الصلب وعبر مركز الكتلة يُعرف بالعزم القطبي للقصور الذاتي. على وجه التحديد، إنها اللحظة الثانية للكتلة فيما يتعلق بالمسافة المتعامدة من المحور (أو القطب).
بالنسبة لمقدار معين من الزخم الزاوي، يؤدي الانخفاض في لحظة القصور الذاتي إلى زيادة السرعة الزاوية. يمكن للمتزلجين على الجليد تغيير لحظة القصور الذاتي عن طريق سحب أذرعهم. وبالتالي، فإن السرعة الزاوية التي يحققها المتزلج بأذرع ممدودة ينتج عنه سرعة زاوية أكبر عند سحب الذراعين للداخل، بسبب انخفاض لحظة القصور الذاتي. المتزلج على الجليد ليس، مع ذلك، جسمًا صلبًا.
قوانين نيوتن لنظام صارم لـ حبيبات، ، يمكن كتابتها من حيث القوة المحصلة وعزم الدوران عند نقطة مرجعية ، للحصول على [16][19]
أين يشير إلى مسار كل جسيم.
و الكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات من حيث الموقف والتسارع للجسيم المرجعي وكذلك متجه السرعة الزاوية ومتجه التسارع الزاوي للنظام الجامد للجسيمات مثل،
بالنسبة للأنظمة المقيدة بالحركة المستوية، يتم توجيه السرعة الزاوية ومتجهات التسارع الزاوي على طول عمودي على مستوى الحركة، مما يبسط معادلة التسارع هذه. في هذه الحالة، يمكن تبسيط متجهات التسارع بإدخال متجهات الوحدة من النقطة المرجعية لنقطة ونواقل الوحدة ، وبالتالي
ينتج عن هذا عزم الدوران الناتج على النظام كـ
أين وو هل متجه الوحدة عمودي على المستوى لجميع الجسيمات .
استخدم مركز الكتلة كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة ، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى [23]:1029
استخدم مركز الكتلة كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة ، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى [23]:1029
الحركة في الفضاء لجسم صلب، ومصفوفة القصور الذاتي[عدل]
تظهر اللحظات القياسية من القصور الذاتي كعناصر في مصفوفة عندما يتم تجميع نظام من الجسيمات في جسم صلب يتحرك في فضاء ثلاثي الأبعاد. تظهر مصفوفة القصور الذاتي هذه في حساب الزخم الزاوي والطاقة الحركية وعزم الدوران الناتج للنظام الصلب للجسيمات.[4][5][6][7][27]
دع نظام حبيبات، أن يكون موجودا في الإحداثيات مع السرعات نسبة إلى إطار مرجعي ثابت. لنقطة مرجعية (ربما تتحرك) ، المناصب النسبية
يمكن صياغة الطاقة الحركية لنظام صلب من الجسيمات من حيث مركز الكتلة ومصفوفة من لحظات الكتلة من القصور الذاتي للنظام. دع نظام حبيبات أن يكون موجودا في الإحداثيات مع السرعات ، فإن الطاقة الحركية هي [4][7]
أين هو متجه موضع الجسيم بالنسبة إلى مركز الكتلة.
تتسع هذه المعادلة لتنتج ثلاثة شروط
المصطلح الثاني في هذه المعادلة هو صفر لأن هي مركز الكتلة. قدم مصفوفة الانحراف المتماثل لذلك تصبح الطاقة الحركية
وبالتالي، يتم إعطاء الطاقة الحركية للنظام الصلب للجسيمات بواسطة
أين هي مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة إلى مركز الكتلة و هي الكتلة الكلية.
تظهر مصفوفة القصور الذاتي في تطبيق قانون نيوتن الثاني على تجميع صارم للجسيمات. عزم الدوران الناتج على هذا النظام هو، [4][7]
أين هو تسارع الجسيم . والكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات من حيث الموقف والتسارع من النقطة المرجعية، وكذلك متجه السرعة الزاوية ومتجه التسارع الزاوي للنظام الجامد مثل،
استخدم مركز الكتلة كنقطة مرجعية، وتقديم مصفوفة الانحراف المتماثل لتمثيل الضرب التبادلي ، ليحصل
يستخدم الحساب الهوية
تم الحصول عليها من هوية Jacobiللمنتج الثلاثي كما هو موضح في الدليل أدناه:
برهان
Then, the following Jacobi identity is used on the last term:
The result of applying Jacobi identity can then be continued as follows:
The final result can then be substituted to the main proof as follows: