قائمة المتسلسلات الرياضياتية - ويكيبيديا

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (ديسمبر 2018)

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!}$ حيث أن ${\displaystyle B_{k}}$ هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!}$ حيث أن ${\displaystyle \zeta (s)}$ هو دالة زيتا.

تجميع اللانهائيات (عندما يكون ${\displaystyle |x|<1}$)	تجميع النهائيات
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}),\mathrm {where} \ r>0\ \mathrm {and} \ x={\frac {1}{1+r}}.\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{3}x^{i}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{4}x^{i}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{k}x^{i}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!}$ حيث أن Lis(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i}}=-\ln \left({1-x}\right)\quad {\mbox{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=\mathrm {arctanh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\,\!}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!}$

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i{\frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}}$ (شاهد توزيع بواسون)
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{2}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}}$ (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{3}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i^{4}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=\sinh x}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i}}{(2i)!}}=\cosh x}$

المعادلة
${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون ${\displaystyle \alpha =1/2}$ والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون ${\displaystyle \alpha =-1}$):

الجذر التربيعي:

• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$

المتسلسلة الهندسية:

• ${\displaystyle (1+x)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}$

الصيغة العامة:

• ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\mbox{ and all complex }}\alpha \!}$

مع العوامل الثنائية الحد المعممة

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}$

• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+1}}{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{2x}}({\sqrt {1-4x}})}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$
• ^[1] ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{2i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}}$

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose i}=0}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{k+i \choose i}={k+n+1 \choose n}}$
${\displaystyle \sum _{i=0}^{r}{r \choose i}{s \choose n-i}={r+s \choose n}}$

إن تجميعات الجيوب والجيوب التمام مأخوذة من متسلسلة فوييه.

المعادلة
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0}$

المعادلة
${\displaystyle \sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum _{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}}$

• متسلسلة (رياضيات)
• قائمة التكاملات
• تجميع
• متسلسلة تايلور

• من نفس الكتب التي أُخذت منها قائمة التكاملات.