نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .
في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو
![{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acc22f2632c245e9b46eb3e92dfbf0bea56c4c9)
حيث
هو الجهد الكهربائي .
هو المجال الكهربي .
ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .
نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما
و
, و
هو الفرق بين قيمة الحلين
.
وبما أن
و
تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها
.
![{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3daeb36863b250bf892be7274ba74c5b80dd6a)
وباستخدام التعريف
![{\displaystyle \nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a70f610f2e44d85e5a86ea7e39e6d539b8543e3)
وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :
![{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b4c1a69b5db85a22d6aad264cb0996cd212d41)
وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e2ed01c231ce6652270bccabebfc02339b538b)
وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :
![{\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5db0fb46819a68c78aefd4a2e34132e2a19fa72)
حيث
هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .
وبما أن
و
إذا
يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون
.
وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون
![{\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099c1611947e2dec9c7de48efa65a6eaf0931400)
بشرط أن يكون :
معرفة على كل حدود السطح، وتكون
, وبالتالي تصبح
.
معرفة على كل حدود السطح، وتكون
, وبالتالي تصبح
. - أن تحقق
قانون جاوس