في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem) هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.[1]
سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:
نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة
التي تحقق المعادلة:
![{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6085ca166713efb9cb36f04814b0f7c8a013a6be)
بحيث يكون كلا العددان
و
مخالفين للصفر.
نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
نضرب طرفي المعادلة بـ
، في حين سنستعمل الترميز التالي
كاختصار للتكامل:
.
سنصل إلى المعادلة:
![{\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc1568c516ef62d5c151e5cb38bbd3838a94b9e)
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
![{\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13de7bbb9ab8ae0982d121464a561959a929225)
حيث
![{\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6478f96986f6b40e013f7458b5524d2116792381)
![{\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8506ac9f2d9184f6cdd9d0cefebf92fbb6041cb3)
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :
هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد
ليس كذلك.
والسبب في أن
عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c673861cd226113c289ebb33b61d678bc4efe8)
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.
ولكي نبرهن على أن:
من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن
هو جداء الدوال
و
. وباستعمال المحد العلوي لـ
و
على المجال
وبما أن:
لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.
يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.