Конюнкция – Уикипедия

Тази статия или раздел има нужда от повече източници, позволяващи проверка на твърденията. Можете да подобрите статията, като добавите благонадеждни източници. Неподкрепени с източници материали могат да бъдат оспорени и премахнати.

Конюнкция се нарича както едно сложно (съобщително) изречение, възникнало от свързването на две (съобщителни) изречения чрез съюза „и“ (които в случая играят ролята на негови „подизречения“, наричани „конюнкти“), така и самият съюз „и“, разбиран в смисъла на логическа частица или логически оператор, който създава следната истинностно-функционална зависимост: едно конюнктивно изречение е истинно (има стойност по истинност И), когато всички негови подизречения са истинни, и неистинно (има стойност по истинност Н), когато поне едно от тях е неистинно.^[1] За да се различават конюнкцията в смисъла на специфичен вид сложно изречение и конюнкцията в смисъла на логически оператор, някои автори запазват думата „конюнкция“ само за сложното изречение и използват за оператора термина „конюнктор“. Символният израз на конюнктора е знакът ${\displaystyle \land }$. Условията за истинност на една конюнкция ${\displaystyle p\land q}$ между изреченията ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ могат да се посочат чрез следната таблица:

аргумени		функция
${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle q}$
И	И	И
И	Н	Н
Н	И	Н
Н	Н	Н

където първите две колонки – тази под ${\displaystyle p}$ и и тази под ${\displaystyle q}$ – показват във всеки ред по една от четирите възможни комбинации на стойностите по истинност ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, а именно И (истина) и Н (неистина), а колонката под ${\displaystyle p\land q}$ показва каква е даваната от ${\displaystyle p\land q}$ стойност по истинност за съответната комбинация. Тъй като както ${\displaystyle p}$, така и ${\displaystyle q}$, може да получи точно една от две стойности – И, ако е истинно, и Н, ако е неистинно, – възможните комбинации на техните стойности, както се вижда, са четири и съответно са четири и случаите, в които ${\displaystyle p\land q}$ дава по една стойност по истинност. Огледалната операция на конюнкцията ${\displaystyle \land }$ е дизюнкцията ${\displaystyle \lor }$.

Заключенията, които се получават въз основа на значението на конюнктора, се изследват в пропозиционалната логика. ${\displaystyle \land }$ е логическа константа в езика на пропозиционалната логика.

Пример за конюнктивно изречение е: „Слънцето е изгряло и небето е облачно“ (изразено с конюнктора: „Слънцето е изгряло ${\displaystyle \land }$ небето е облачно“) с подизречения „Слънцето е изгряло“ и „небето е облачно“. Логическата конюнкция не бива да се схваща обаче като ,превод‘ на думата „и“ от естествения – в случая: българския – език на езика на логиката. Думата „и“ съдържа и редица нюанси в смисъла си, които логическият оператор ${\displaystyle \land }$ не предава. Напр. понякога с „и“ се описва и последователност във времото. Има разлика между двете изречения „Тя го напусна и той спря да мисли за нея“ и „Той спря да мисли за нея и тя го напусна“. В други случаи, напр. в аритметичното твърдение „${\displaystyle n}$ е четно и по-голямо от 5“, във формален запис:

${\displaystyle \exists x(x\in \mathbb {Z} \land n=2.x)\land n>5}$

(${\displaystyle n}$ е равно на удвояването на едно цяло число ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle n}$ е по-голямо от 5)

такава времева последователност не е интендирана. Това твърдение има същия смисъл като „${\displaystyle n}$ е по-голямо от 5 и четно“ в символен запис:

${\displaystyle n>5\land \exists x(x\in \mathbb {Z} \land n=2.x)}$.

Смисълът на логическия оператор ${\displaystyle \land }$ обхваща само истинностно-функионалното ядро на думата „и“, което е дефинирано с горната таблица за истинност.

Тъй като на конюнкцията е присъщо свойството комутативност (разместително свойство):

${\displaystyle p\land q\Leftrightarrow q\land p}$

както и свойството асоциативност (съдружително свойство):

${\displaystyle (p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)}$

(където знакът ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ изразява логическа еквивалентност),

„конюнкция“ се наричат понякога и комплексни конюнктивни изречения с повече от два конюнкта:

${\displaystyle p\land q\land r}$

и по-общо:

${\displaystyle p_{1}\land p_{2}\land p_{3}\land {...}\land p_{n}}$

като въпреки това не бива да се забравя, че конюнкцията е (дефинирана като) бинарна, т.е. двуместна логическа операция.

В математиката за „конюнкция“ говори понякога и при дефинирането на операцията сечение на две множества. Сечението е резултантното множество, състоящо се от елементите, принадлежащи едновременно и на двете изходни множества.

Сечението на множества се отбелязва със символа ∩, така че новото множество, възникнало от сечението на множествата A и B, се записва като „A ∩ B“.

Формално:

x е елемент на A ∩ B ако и само ако

x е елемент от A

и (т.е. конюнкция)

x е елемент от B.

A∩B ≝ {x|(x∈A)∧(x∈B)}

Например:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø

Конюнкцията, както беше споменато по-горе, притежава свойствата комутативност и асоциативност, така че това се пренася и върху записа на сечението на две множества:

• A ∩ B = B ∩ A;
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

Например: A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D))

Основната идея за конюнкцията в теорията на множествата е пресичане на случаен (произволен) не-празен сбор от множества.

Една малко по-девиантна употреба на думата „конюнкция“ е следната. Ако M е едно непразно множество от множества, тогава x е елемент на конюнкция на M ако и само ако за всеки елемент A от M, x е елемент на A.

В символи:

${\displaystyle \left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} .\ x\in A\right).}$

Идеята, която включва горното, е, че напр. фактът, че A ∩ B ∩ C е конюнкция на множеството от множества {A,B,C}, означава, че х е елемент на A ∩ B ∩ C точно тогава, когато х е елемент на А ${\displaystyle \land }$ х е елемент на В ${\displaystyle \land }$ х е елемент на С.

Нотацията на последната концепция може да варира значително.

Теоретиците на множества ще пишат понякога „∩M“, докато други ще пишат вместо това „∩_{A${\displaystyle {\in }}$M} A“.

Втората може да се генерализира като „∩_{i${\displaystyle {\in }}$I} A_i“, което се отнася до конюнкцията на сбора {A_i : i ${\displaystyle {\in }}$ I}.

Тук I е не-празно множество, и A_i е множество за всеки i в I.

• Дизюнкция
• Импликация