Малка теорема на Ферма – Уикипедия

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Теоремата на Ферма гласи:

Ако a е цяло число (${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$) и p e просто число, то

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$

• 4³ − 4 = 60 се дели на 3.
• (−3)⁷ − (−3) = −2184 се дели на 7.
• 2⁹⁷ − 2 = 158456325028528675187087900670 се дели на 97.

Ще докажем, че за всяко просто p и цяло неотрицателно a, ${\displaystyle a^{p}-a}$ се дели на p като използваме метода на математическата индукция.

1) За a=1, ${\displaystyle a^{p}-a=0}$ и се дели на p

2) Да допуснем, че твърдението е вярно за a=k. Ще го докажем и за a=k+1.

${\displaystyle a^{p}-a=(k+1)^{p}-(k+1)=k^{p}+1+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}k^{l}-k-1=}$

${\displaystyle =k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}k^{l}{p \choose l}}$

Но ${\displaystyle k^{p}-k}$ се дели на p по предположение на индукцията. Що се отнася до другото събираемо, то ${\displaystyle {p \choose l}={p! \over l!(p-l)!}}$. За ${\displaystyle 1\leq l\leq p-1}$, числителя на тази дроб се дели на p, а знаменателя - не се дели, следователно, ${\displaystyle {p \choose l}}$ се дели на ${\displaystyle p}$. Следователно цялата сума ${\displaystyle k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}}$ се дели на p, което и трябваше да се докаже.

За отрицателни a и нечетни p теоремата се доказва лесно ако приемем, че b=-a. За отрицателни a и p=2, верността на теоремата следва от ${\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)}$.