Обратна функция – Уикипедия

Обратна функция ${\displaystyle g(y)}$ на функцията ${\displaystyle f(x)}$ се нарича такава функция, за която ${\displaystyle g(f(x))=x}$ за всяко x. Най-често за обратна функция се използва означението ${\displaystyle f^{-1}(y)}$. Функцията ${\displaystyle f(x)}$ има обратна функция тогава и само тогава, когато тя е биекция. ^[1][2]

Ако функцията ${\displaystyle y=f(x)}$ е дефинирана и обратима в множеството ${\displaystyle D}$ и приема стойности в множеството ${\displaystyle M}$, тогава функцията ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ се нарича обратна на ${\displaystyle y=f(x)}$, ако за всяко ${\displaystyle y}$, принадлежащо на ${\displaystyle M}$, съществува единствено ${\displaystyle x}$, принадлежащо на ${\displaystyle D}$, за което ${\displaystyle y=f(x)}$.

Казваме, че функцията ${\displaystyle y=f(x)}$ е обратима в множеството ${\displaystyle D}$, ако за всеки 2 стойности ${\displaystyle x1}$, ${\displaystyle x2}$, принадлежащи на ${\displaystyle D}$, от това, че ${\displaystyle x1}$ е различно от ${\displaystyle x2}$ следва, че ${\displaystyle f(x1)}$ е различно от ${\displaystyle f(x2)}$.

Всяка монотонна функция е обратима, защото от монотонността следва, че функцията е биекция.

Ако функцията ${\displaystyle y=f(x)}$ е монотонно растяща/намаляваща в множеството ${\displaystyle D}$, то обратната и функция ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ е монотонно растяща/намаляваща в ${\displaystyle M}$.

Графиките на дадена функция и нейната обратна са симетрични спрямо ъглополовящите на първи и трети квадрант.

Обратната функция на показателната функция е логаритмичната функция.

Тригонометрични функции
Функция	Обратна функция
${\displaystyle sin(x)}$	${\displaystyle arcsin(x)}$
${\displaystyle cos(x)}$	${\displaystyle arccos(x)}$
${\displaystyle tg(x)}$	${\displaystyle arctg(x)}$
${\displaystyle cotg(x)}$	${\displaystyle arccotg(x)}$
${\displaystyle sec(x)}$	${\displaystyle arcsec(x)}$
${\displaystyle cosec(x)}$	${\displaystyle arccosec(x)}$

Да се намери обратната функция на функцията y = ${\displaystyle x^{2}}$, x ≥ 0.

Решение:

Функцията y = ${\displaystyle x^{2}}$, x ≥ 0 е строго растяща, защото от 0 ≤ x1 < x2 следва f(x1)-f(x2) = ${\displaystyle x1^{2}}$ - ${\displaystyle x2^{2}}$ = (x1 – x2)(x1 + x2) < 0, т.е. f(x1) < f(x2). Това означава, че функцията y = ${\displaystyle x^{2}}$ при x ≥ 0 е обратима. От y = ${\displaystyle x^{2}}$, x ≥ 0 намираме x = √y. Изразът √y има смисъл, защото y ≥ 0. Следователно обратната функция на функцията Функцията y = ${\displaystyle x^{2}}$ за x ≥ 0 е x = √y, y ≥ 0.