Окръжност – Уикипедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Kreis.png)
Окръжността е геометрична затворена крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Диаметър на окръжността (d) е отсечка, свързваща две точки от окръжността и преминаваща през центъра ѝ, като дължината ѝ е два пъти радиуса (d = 2r).
Кръг
[редактиране | редактиране на кода]Фигурата, съставена от точките на окръжността и точките във вътрешността ѝ, т.е. точките, които са на разстояние от центъра, равно или по-малко от радиуса, се нарича кръг.
Окръжност се отнася към кръг в двуизмерното пространство, както сфера към кълбо в триизмерното.
Определения
[редактиране | редактиране на кода]Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде определена също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.
Площта S (лицето) на кръг с радиус r или диаметър d е
Периметърът p (обиколката) на кръг, тоест дължината на окръжност, с радиус r или диаметър d е
По Евклид
[редактиране | редактиране на кода]Според класическото определение окръжността е геометричното място на точките в равнината, разположени на еднакво разстояние от дадена точка. В известното математическо съчинение „Елементи“ древногръцкият математик Евклид (IV – III век пр.н.е.) дава следното определение:
„ | Кръг е равнинна фигура, ограничена от линия, такава че всички прави отсечки, достигащи до нея от една от точките, лежащи вътре във фигурата, са равни една на друга. | “ |
Евклид, Елементи, книга I, определение 15. [1] |
По Аполоний от Перге
[редактиране | редактиране на кода]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Apollonius_circle_definition_labels.svg/220px-Apollonius_circle_definition_labels.svg.png)
Аполоний от Перге (262 – 190 г. пр.н.е.) показва, че окръжността може да се определи и като множеството от точки в дадена равнина, за които съотношението на разстоянието до две зададени точки е постоянно и различно от единица.[2]
Доказателството за еквивалентност на определението на Аполоний с класическото определение се състои от две части. Първо, трябва да се докаже, че при зададени две точки, фокусите A и B, и съотношение на разстоянията, всяка точка P, за която е изпълнено условието, трябва да лежи върху определена окръжност. Ако C е друга точка, също изпълняваща условието и лежаща на отсечката AB. От теоремата за ъглополовящата следва, че отсечката PC е ъглополовяща на вътрешния ъгъл APB, заради съотношението:
Аналогично отсечка PD през точка D на правата AB е ъглополовяща на съответния външен ъгъл BPQ, където Q лежи на правата AP. Тъй като сборът на вътрешния и външния ъгъл е 180°, ъгълът CPD е прав. Множеството от точки P, за които ъгълът CPD е прав, образуват окръжност, за която CD е диаметър. Вторият етап от доказателството е да се покаже, че всяка точка от въпросната окръжност удовлетворява зададеното съотношение на разстоянията.[3]
Дефиницията на Аполоний е тясно свързана с едно отношение на окръжностите с геометрията на двойното отношение на точките в комплексната равнина. Ако точките A, B и C са зададени както в горното доказателство, Аполониевата окръжност за тези три точки е множеството от точките P, за които абсолютната стойност на двойното отношение е равна на 1:
Формулирано по друг начин, P е точка от Аполониевата окръжност тогава и само тогава, когато двойното отношение [A,B;C,P] лежи върху единичната окръжност на комплексната равнина.
Определението на Аполоний дава възможност за дефиниране и на т.нар. обобщена окръжност, множество от криви, включващо освен окръжностите в тесен смисъл, също и правите, образувани при:
В декартови координати
[редактиране | редактиране на кода]- Уравнението на окръжност с център и радиус е
- ако съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида
- Параметрично представяне на окръжност:
- където координатите x и y се изразяват чрез параметъра , който може да приема всички стойности в интервала .
В полярни координати
[редактиране | редактиране на кода]Ако полярните координати на центъра на окръжност са , то окръжността с радиус се описва с равенството
- ,
- ако е началото на координатната система, то
Термини, свързани с окръжността
[редактиране | редактиране на кода]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/CIRCLE_LINES_2.svg/220px-CIRCLE_LINES_2.svg.png)
- Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър.
- Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
- Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра ѝ.
- Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда.
- Допирателна (тангента) се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
- Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
- Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
- Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
- Периферен ъгъл се нарича ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към К, а другото пресича окръжността.
- Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.
Свойства
[редактиране | редактиране на кода]- Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка (правата е допирателна) и да имат две общи точки (правата е секуща).
- През три точки, нележащи на една права, може да се прекара само една окръжност.
- Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.
Вижте също
[редактиране | редактиране на кода]Източници
[редактиране | редактиране на кода]- ↑ Euclid. Definitions 15 – 18 // Euclid's Elements, Book I. Clark University, 2003. Посетен на 24 април 2011. (на английски)
- ↑ Harkness, James. Introduction to the theory of analytic functions. London, New York, Macmillan and Co., 1898. p. 30. (на английски)
- ↑ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover, 2007, [1952]. p. 15. (на английски)