Супремум-норма – Уикипедия

Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство ${\displaystyle \ell ^{\infty }(M,Y)}$ на ограничените функции

${\displaystyle f:M\to Y}$

изобразяващи непразно множество ${\displaystyle M}$ в нормираното пространство ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|_{Y})}$ супремум-нормата се дефинира чрез

${\displaystyle \|f\|_{\ell ^{\infty }}:={\textrm {sup}}_{x\in M}|f(x)|}$.^[1]

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции ${\displaystyle f:M\!^{\to }Y}$ не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство ${\displaystyle \ell ^{\infty }(M,Y)}$ да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако ${\displaystyle M}$ е компактно метрично пространство, то пространството ${\displaystyle C(M)}$ на непрекъснатите функции ${\displaystyle f:M\!^{\to }Y}$ е подпространство на ${\displaystyle \ell ^{\infty }(M,Y)}$ и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:^[2]

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:={\textrm {max}}_{x\in M}|f(x)|}$,

която в частност съвпада със супремум-нормата. ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството ${\displaystyle C(M)}$ може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.^[3] Нормираното пространство ${\displaystyle (C(M),\|\cdot \|_{\infty })}$ е банахово.^[2]

Функцията

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { f_n: n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.}$

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.^[4]

• Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комплекснозначни редици: ${\displaystyle c_{0}=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ {\textrm {lim}}_{n\to \infty }t_{n}=0\}}$ (Тук ${\displaystyle \mathbb {K} }$ е ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.)
• Пространсвото на сходящите редици: ${\displaystyle c=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \exists t({\textrm {lim}}_{n\to \infty }t_{n}=t)\}}$
• Пространсвото на ограничените редици: ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} )=\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \exists t\forall n(|t_{n}|<t)\}}$

Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:

${\displaystyle \ell ^{p}=\left\{(t_{n}):t_{n}\in \mathbb {K} ,\ \sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|^{p}<\infty \right\}}$

нормирани чрез

${\displaystyle \|x\|_{\ell ^{p}}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

за ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$. В сила е

${\displaystyle \forall x\in \ell ^{1}(\mathbb {N} )({\textrm {lim}}_{p\to \infty }\|x\|_{\ell ^{p}}=\|x\|_{\ell ^{\infty }})}$^[5]

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма^[6].

Пространството ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал ${\displaystyle [a,b]}$ нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната ${\displaystyle r}$-та производна нормирано чрез

${\displaystyle \|f\|=\sum _{i=0}^{r}\left\|{\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}\right\|_{\ell ^{\infty }}}$

е банахово.^[7]

• Пространство Lp
• Равномерна сходимост

• Mathieu M., Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1998, ISBN 3-8274-0153-4
• Dubrowski M., Angewandte Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25395-5
• Alt H., Lineare Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-34186-2
• Werner D., Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3