Тетраедър – Уикипедия

Тетраедърът е вид многостен с формата на триъгълна пирамида. Името му означава четиристен (на старогръцки: τετράεδρον: τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες „четири“ + ἕδρα „седалище, основа“ ^[1]). Има четири стени, 4 върха и 6 ръба. ^[2] Неговите разновидности могат да имат различна степен на симетрия, а тя е най-висока при правилния тетраедър (фиг. 1), чиито стени са равностранни триъгълници.

По-ниска симетрия имат:

• правилната триъгълна пирамида: трите стени са равнобедрени триъгълници, а основата – равностранен;
• тетрагонален, ромбичен, дигонален и обикновен дисфеноид;
• усукан тетраедър;
• правоъгълен тетраедър: три ръба към един връх са перпендикулярни по двойки – съответните стени са правоъгълни триъгълници.

Както всички изпъкнали многостени, тетраедърът може да бъде сгънат от един лист хартия. Има две такива развивки. ^[2]

За всеки тетраедър съществува описана сфера, върху която лежат всичките четири върха (фиг. 2), и вписана сфера, допирателна към стените на тетраедъра. ^[3]

• Стена (лице) на тетраедъра е част от равнина, ограждаща неговия обем. Стените на тетраедъра са триъгълници. Общата права на две съседни стени се нарича ръб (фиг. 3).
• Съседни ръбове са тези, които започват от обща точка, наречена връх на тетраедъра. Три съседни ръба лежат в една равнина и определят границите на една стена.
• Противоположни ръбове (непресичащи се или кръстосани ръбове) са тези, които нямат обща точка (връх) и не лежат в една равнина. Те са част от две кръстосани прави: ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ (фиг. 3).
• Двойни медиани или бимедиани на тетраедър са отсечките, свързващи средните точки на неговите непресичащи се ръбове (зелените отсечки на фиг. 3).
• Двойни височини или бивисочини на тетраедър са общите перпендикуляри на два от неговите противоположни ръбове.

• Сечение от равнина, минаваща през средите на четири ръба на тетраедър, е успоредник (фиг. 4).
• Равнината, минаваща през средите на всеки два пресичащи се ръба на тетраедъра, го разделя на две части с еднакъв обем (фиг. 4). ^{[4]:с. 216-217}
• Бимедианите на тетраедър се пресичат в същата точка ${\displaystyle M}$ (фиг. 4) като медианите на тетраедър (диагоналите на червеното сечение на фиг. 3), която се нарича медицентър или център на тежестта на тетраедъра.
• Теорема на Лайбниц за центъра на тежестта на тетраедър (фиг. 5):
  

За медицентъра ${\displaystyle P}$ на тетраедър ${\displaystyle ABCD}$ и произволна точка ${\displaystyle X}$ е изпълнено равенството ^[5] ${\displaystyle AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}=4XP^{2}+AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}}$, или ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2}}$.

• Равнините, които минават през средата на ръба и са перпендикулярни на противоположния ръб, се пресичат в една точка (ортоцентър).
  

Ортоцентър в симплекс се дефинира като пресечна точка на хиперравнини, които са перпендикулярни на ръба и минават през центъра на тежестта на противоположния елемент. На фиг. 5 точка ${\displaystyle P}$ е ортоцентър на стените ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle BCD}$ – пресечна точка на височините ${\displaystyle AS_{1}}$ и ${\displaystyle AS_{2}}$. В общия случай за произволен тетраедър височините от четирите върха не се пресичат в една точка.

• Ойлерова права линия. За общ тетраедър ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ Ойлерова права на ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ (по аналогия с двумерния случай на триъгълника) се нарича правата линия ${\displaystyle e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}}$, която минава през центъра на тежестта ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ на ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ и центъра ${\displaystyle U({\mathcal {T}})}$ на описаната сфера около ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ (фиг. 6). ^[6]
  • Центърът на тежестта на тетраедъра ${\displaystyle S}$, центърът на описаната сфера ${\displaystyle U}$, центърът ${\displaystyle F}$ на сферата, която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра, и ортоцентърът ${\displaystyle P}$ лежат на Ойлеровата права, като ${\displaystyle US=SP=3\cdot SF}$.
  • Центърът на сферата ${\displaystyle K}$, вписана в комплементарния тетраедър, центърът на сферата ${\displaystyle N}$, вписана в антикомплементарния тетраедър, центърът на тежестта на тетраедъра ${\displaystyle S}$ и центърът на вписаната сфера ${\displaystyle I}$ лежат на същата права линия.
• Нека точка ${\displaystyle G_{1}}$ разделя отсечката, свързваща ортоцентъра ${\displaystyle P}$ и върха ${\displaystyle 1}$ в съотношение 1:2. Спуска се перпендикуляр от точка ${\displaystyle G_{1}}$ към стената срещу връх ${\displaystyle 1}$, който я пресича в точка ${\displaystyle W_{1}}$. Точките ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle W_{1}}$ лежат върху сфера (сфера на Фойербах), която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра.
• Успоредни равнини, минаващи през три двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра, определят паралелепипеда, описан около тетраедъра.
• Центровете на сферите, които минават през трите върха и вписания център, лежат върху сфера, чийто център съвпада с центъра на описаната сфера. Това твърдение е вярно и за външни центрове.

 Основна статия: Равностенен тетраедър

Равностенен тетраедър (еквиедър) е този, на който всичките стени са еднакви триъгълници. Нарича се още дисфеноид.

Основни свойства на равностенния тетраедър:

• Всички стени имат равни площи и периметри.
• Тетраедърът има три оси на симетрия.
• Пресичащите се ръбове са равни по двойки.
• Височините на тетраедъра са равни.
• Тристенните ъгли са равни.
• Противоположните двустенни ъгли са равни.
• Сумата от всички двустенни ъгли е нула.
• Два равнинни ъгъла, лежащи на един и същи ръб, са равни.
• Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°.
• Развивката на тетраедъра е триъгълник или успоредник (фиг. 7).
• Общите перпендикуляри на пресичащите се ръбове са перпендикулярни по двойки.
• Средните отсечки са перпендикулярни по двойки.
• Описаният паралелепипед е правоъгълен.
• Центърът на тежестта на тетраедъра съвпада с центровете на описаната и вписаната сфера.
• Вписаната сфера се допира до лицата в центровете на окръжностите, описани около тези лица.
• Центровете на вписаните сфери лежат върху описаната сфера.

Ортоцентричен се нарича тетраедър, на който всички височини, спуснати от върховете към противоположните стени, се пресичат в една точка.

Свойства на ортоцентричния тетраедър:

• Височините на тетраедъра се пресичат в една точка.
• Основите на височините на тетраедъра са ортоцентровете на стените.
• Всеки два противоположни ръба са взаимно перпендикулярни.
• Сумите на квадратите на противоположните ръбове са равни.
• Отсечките, свързващи средите на противоположните ръбове, са равни.
• Произведенията на косинусите на противоположни двустенни ъгли са равни.
• Сумата от квадратите на площите на стените е четири пъти по-малка от сумата от квадратите на произведенията на противоположните ръбове.
• Окръжностите от 9 точки (окръжности на Ойлер) на всички стени на тетраедъра принадлежат на една сфера (сфера от 24 точки).
• За ортоцентричен тетраедър, центровете на тежестта, точките на пресичане на височините на стените и точките, разделящи всяка височина на тетраедъра от върха до точката на пресичане на височините в съотношение на 2:1, лежат на една сфера (сфера от 12 точки).

Всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Правоъгълен тетраедър се получава чрез отрязване на тетраедъра с равнина от правоъгълен паралелепипед.

Това е тетраедър, който отговаря на някое от следните условия: ^[7]

• Съществува сфера, допираща се до всички стени;
• Сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни;
• Сумите на двустенните ъгли в противоположните ръбове са равни;
• Окръжностите, вписани в стените, се допират по двойки;
• Всички четириъгълници, получаващи се от развивката на тетраедъра, са описани;
• Перпендикулярите, издигнати към стените от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.

 Основна статия: Съразмерен тетраедър

Съразмерен тетраедър е този, който има равни бисочини (двойни височини).

Свойства на съразмерния тетраедър:

• Двойните височини са равни.
• Проекцията на тетраедъра върху равнина, перпендикулярна на всяка бимедиана, е ромб.
• Стените на описания паралелепипед са еднакви по големина.
• Важат следните равенства:
  ${\displaystyle 4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2})^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1}}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2}-{b_{1}}^{2})^{2},}$ където ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c_{1}}$ са дължини на противоположни ръбове.
• За всяка двойка противоположни ръбове на тетраедър равнините, прекарани през единия от тях и средата на втория, са перпендикулярни.
• В описания паралелепипед на съизмерим тетраедър може да се впише сфера.

При този тип отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни стени, се пресичат в една точка.

Свойства на инцентричния тетраедър:

• Отсечките, свързващи центровете на тежестта на стените на тетраедъра с противоположни върхове (медиани на тетраедъра), винаги се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тетраедъра.
• Ако в последното условие се заменят центровете на тежестта на стените с ортоцентровете на стените, това ще се превърне в ново определение за ортоцентричен тетраедър. Ако те се заменят с центрове на вписани окръжности в стените, понякога наричани инцентрове, получава се определението за нов клас тетраедри – инцентрични.
• Отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположните стени на върховете, се пресичат в една точка.
• Симетралите на ъглите на две стени, начертани към общия ръб на тези стени, имат обща основа.
• Произведенията от дължините на срещуположните ръбове са равни.
• Триъгълникът, образуван от вторите пресечни точки на три ръба, излизащи от един връх с всяка сфера, минаваща през трите края на тези ръбове, е равностранен.

 Основна статия: Правилен тетраедър

Правилен тетраедър се нарича равностенен тетраедър, чиито лица са правилни триъгълници (фиг. 1). Той е едно от петте платонови тела. Правилният тетраедър също е равностранна тристранна пирамида с равностранен триъгълник като нейна основа.

Ако ръбът на правилен тетраедър е с дължина ${\displaystyle a}$ (фиг. 8),

• основната повърхнина е: ${\displaystyle B={\frac {\sqrt {3}}{4}}{a^{2}}}$
• околната повърхност е: ${\displaystyle S_{ok}=3B={\frac {{3}{\sqrt {3}}}{4}}{a^{2}}}$
• пълната повърхнина е: ${\displaystyle S=4B={\sqrt {3}}a^{2}}$
• височината е: ${\displaystyle h={\sqrt {\frac {2}{3}}}a={{\sqrt {6}} \over 3}a}$
• обемът e: ${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}{a^{3}}}$ .

• Всички ръбове на тетраедъра са равни по дължина,
• Всички стени на тетраедъра са еднакви равностранни триъгълници и всичките ъгли са по 60°,
• Непресичащите се ръбове на правилния тетраедър са взаимно перпендикулярни.
• Правилният тетраедър е едновременно ортоцентричен, рамков, равностенен, инцентричен и съизмерим.
• Тетраедърът е правилен, ако принадлежи към два от горните видове тетраедри.
• Правилният тетраедър е самодуален, което означава, че неговият дуал е друг правилен тетраедър.
• Тетраедърът е единственото Платоново тяло, което не е точково симетрично и има връх срещу всяка стена.
• Правилният октаедър е резултат от отрязването от правилен тетраедър на четири правилни тетраедъра с половината от линейния размер (т.е. коригиране на тетраедъра).
• В правилен тетраедър може да бъде вписан октаедър със съвпадане на стените, както и сфера, допираща се в стените на тетраедъра.

• Правилен тетраедър може да бъде вписан в куб по два начина и в додекаедър, като върховете му съвпадат с върховете на тези тела. На фиг. 9 е показан правилен тетраедър, вписан в куб, като ръбовете му са диагоналите на стените на куба. Обемът на тетраедъра, вписан в куб е ${\displaystyle 1/3}$ от обема на куба:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{3}}}$ ,

където ${\displaystyle a}$ е страната на куба. ^[8]

• Около правилен тетраедър може да се опише сфера, като върховете му лежат на сферата, както е показано на фиг. 10.

• Ако четирите върха са точките, означени A, C, D и O (фиг. 10), то обемът на тетраедъра е:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|det({\overrightarrow {AO}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})\right|}$

Ако основата е триъгълник ${\displaystyle CDO}$ с площ ${\displaystyle B}$ и височината на тетраедъра е ${\displaystyle AH=h}$, то обемът му е:

${\displaystyle V={\frac {Bh}{3}}}$

• Обемът на тетраедър чрез дължините на ръбовете ${\displaystyle a_{ij}}$ между ${\displaystyle i}$-ия и ${\displaystyle j}$-ия връх ${\displaystyle (i,j=1,...,4)}$ се изразява с помощта на детерминантата на Кели–Менгер ${\displaystyle KM}$:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {KM}{288}}}}$ ,

където

${\displaystyle KM={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\1&a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\1&a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\1&a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

Тази формула има плосък аналог за лице на триъгълник под формата на вариант на формулата на Херон чрез подобна детерминанта.

• Обемът на тетраедър през дължините на два срещуположни ръба ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, като пресичащи се прави, които са разположени на разстояние ${\displaystyle h}$ един от друг и образуват ъгъл ${\displaystyle \phi }$ помежду си, се намира по формулата

${\displaystyle V={\frac {abh\sin \phi }{6}}.}$

• Обемът на тетраедър чрез дължините на трите му ръба ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$, излизащи от един връх и образуващи съответно по двойки равнинни ъгли ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ се намира по формулата ^[9]

${\displaystyle V={\frac {abc{\sqrt {D}}}{6}},}$

където ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}$

Аналогът в равнината на последната формула е формулата за лице на триъгълник чрез дължините на двете му страни ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, излизащи от един връх и образуващи ъгъл ${\displaystyle \gamma }$ една с друга:

${\displaystyle S={\frac {ab{\sqrt {D}}}{2}},}$

където ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}$

• Съществува аналог на формулата на Херон за обема на тетраедър. ^[10]

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$${\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$${\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}$ — координати на върховете на тетраедъра.

• Обем на тетраедъра (с отчитане на знака):

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}$.

• Координати на центъра на тежестта (медицентъра): ${\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}$

${\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}$ ${\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}$ ${\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}$

• Координати на центъра на вписаната сфера: ${\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}$

${\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}$

където ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$ и ${\displaystyle S_{4}}$ са площите на стените, противолежащи съответно на първия, втория, третия и четвъртия връх.

Съответното уравнение на вписаната сфера е

${\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение на външновписаната сфера, противолежаща на първия връх:

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение на външновписаната сфера, противолежаща на първия и втория връх (броят на такива сфери може да бъде от 0 до 3):

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

• Уравнение на описаната сфера:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,}$ — барицентрични координати.

• Обем на тетраедъра (с отчитане на знака):
  

Нека ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4})}$ са координати на върховете на тетраедъра. Тогава обемът му е

${\displaystyle V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3}+t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',}$
където ${\displaystyle V'}$ е обем на базисния тетрадър.

• Координати на центъра на тежестта (медицентъра): ${\displaystyle \mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).}$

• Координати на центъра на вписаната сфера: ${\displaystyle \mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).}$

• Координати на центъра на описаната сфера:

${\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.}$

• Разстояние между точките ${\displaystyle \mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})}$ и ${\displaystyle \mathbf {J} _{B}(B_{1},B_{2},B_{3},B_{4})}$:

Нека ${\displaystyle C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};}$
${\displaystyle C_{3}={\frac {A_{3}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{3}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{4}={\frac {A_{4}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{4}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}.}$

Тогава разстоянието между две точки се определя от израза: ${\displaystyle d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_{4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).}$

• Уравнение на равнина по три точки:

Тук и по-долу са приведените координати.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z&t\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\\end{vmatrix}}=0.}$

• Уравнение на сфера по център и радиус:

${\displaystyle R^{2}=-((x-x_{0})(y-y_{0})\alpha _{1,2}^{2}+(x-x_{0})(z-z_{0})\alpha _{1,3}^{2}+(x-x_{0})(t-t_{0})\alpha _{1,4}^{2}+(y-y_{0})(z-z_{0})\alpha _{2,3}^{2}+(y-y_{0})(t-t_{0})\alpha _{2,4}^{2}+(z-z_{0})(t-t_{0})\alpha _{3,4}^{2}).}$

• Уравнение на равнина по точка и вектор на нормалата:

${\displaystyle (\eta _{1}(y-y_{0})+\eta _{2}(x-x_{0}))\alpha _{1,2}^{2}+(\eta _{1}(z-z_{0})+\eta _{3}(x-x_{0}))\alpha _{1,3}^{2}+(\eta _{1}(t-t_{0})+\eta _{4}(x-x_{0}))\alpha _{1,4}^{2}+(\eta _{2}(z-z_{0})+\eta _{3}(y-y_{0}))\alpha _{2,3}^{2}+(\eta _{2}(t-t_{0})+\eta _{4}(y-y_{0}))\alpha _{2,4}^{2}+(\eta _{3}(t-t_{0})+\eta _{4}(z-z_{0}))\alpha _{3,4}^{2}=0.}$ Тъй като вектор е разликата между две точки (начало и край на вектора), то ${\displaystyle \eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}+\eta _{4}=0.}$

Площ (Обем)
${\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}},}$ където ${\displaystyle a,b,c}$ са страните на триъгълника	${\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&a_{2,1}^{2}&a_{3,1}^{2}&a_{4,1}^{2}\\1&a_{2,1}^{2}&0&a_{3,2}^{2}&a_{4,2}^{2}\\1&a_{3,1}^{2}&a_{3,2}^{2}&0&a_{4,3}^{2}\\1&a_{4,1}^{2}&a_{4,2}^{2}&a_{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}$, където ${\displaystyle a_{i,j}}$ е разстоянието между върховете ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3,4),}$ т.е. ръбовете на тетраедъра
${\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}},}$ където ${\displaystyle h_{a}}$ е височината към страната ${\displaystyle a}$ Също ${\displaystyle S={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}}}$	${\displaystyle V={\frac {S_{1}H_{1}}{3}},}$ където ${\displaystyle H_{1}}$ е височината към стeната с площ ${\displaystyle S_{1}}$ Аналогично ${\displaystyle V={\frac {S_{2}H_{2}}{3}}={\frac {S_{3}H_{3}}{3}}={\frac {S_{4}H_{4}}{3}}}$
${\displaystyle S={\frac {ab\sin \gamma }{2}},}$ където ${\displaystyle \gamma }$ е ъгълът между страните ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ Също ${\displaystyle S={\frac {ac\sin \beta }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}}$	${\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{a_{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})}$, където: ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ е ъгълът между стените 1 и 2 с площи ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$, противолежащи на върховете 1 и 2 Аналогично ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{3}S_{4}}{a_{1,2}}}\sin(\phi _{3,4})={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{3}}{a_{2,4}}}\sin(\phi _{1,3})={\frac {2}{3}}{\frac {S_{2}S_{4}}{a_{1,3}}}\sin(\phi _{2,4})}$ и ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{4}}{a_{2,3}}}\sin(\phi _{1,4})={\frac {2}{3}}{\frac {S_{2}S_{3}}{a_{1,4}}}\sin(\phi _{2,3})}$
Дължина (площ) на ъглополовяща
${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$ е дължината на ъглополовящата права на ъгъл ${\displaystyle \gamma }$ срещу страната ${\displaystyle c}$ Също ${\displaystyle l_{b}={\frac {2ac\cos {\frac {\beta }{2}}}{a+c}},}$${\displaystyle l_{a}={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}}$	${\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}$ е площта на ъглополовящата стена на двустенния ъгъл ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ между стените с площи ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ Аналогично ${\displaystyle L_{1,3}={\frac {2S_{1}S_{3}\cos({\frac {\phi _{1,3}}{2}})}{S_{1}+S_{3}}},}$ ${\displaystyle L_{1,4}={\frac {2S_{1}S_{4}\cos({\frac {\phi _{1,4}}{2}})}{S_{1}+S_{4}}},}$ ${\displaystyle L_{2,3}={\frac {2S_{2}S_{3}\cos({\frac {\phi _{2,3}}{2}})}{S_{2}+S_{3}}},}$ ${\displaystyle L_{2,4}={\frac {2S_{2}S_{4}\cos({\frac {\phi _{2,4}}{2}})}{S_{2}+S_{4}}},}$ ${\displaystyle L_{3,4}={\frac {2S_{3}S_{4}\cos({\frac {\phi _{3,4}}{2}})}{S_{3}+S_{4}}}}$
Дължина на медиана
${\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}$ ${\displaystyle m_{b}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}{2}}}$ ${\displaystyle m_{a}={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}}$	${\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(a_{1,2}^{2}+a_{1,3}^{2}+a_{1,4}^{2})-(a_{2,3}^{2}+a_{2,4}^{2}+a_{3,4}^{2})}}{3}}}$ ${\displaystyle m_{2}={\frac {\sqrt {3(a_{1,2}^{2}+a_{2,3}^{2}+a_{2,4}^{2})-(a_{1,3}^{2}+a_{1,4}^{2}+a_{3,4}^{2})}}{3}}}$ ${\displaystyle m_{3}={\frac {\sqrt {3(a_{1,3}^{2}+a_{2,3}^{2}+a_{3,4}^{2})-(a_{1,2}^{2}+a_{1,4}^{2}+a_{2,4}^{2})}}{3}}}$ ${\displaystyle m_{4}={\frac {\sqrt {3(a_{1,4}^{2}+a_{2,4}^{2}+a_{3,4}^{2})-(a_{1,2}^{2}+a_{1,3}^{2}+a_{2,3}^{2})}}{3}}}$
Радиус на вписаната окръжност (сфера)
${\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}$
Радиус на описаната окръжност (сфера)
${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$	${\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}}$, където ${\displaystyle S_{T}}$ е площта на триъгълника със страни ${\displaystyle a_{1,2}a_{3,4},a_{1,3}a_{2,4},a_{1,4}a_{2,3}}$
Косинусова теорема
${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},}$ ${\displaystyle \cos {\beta }={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}},}$ ${\displaystyle \cos {\gamma }={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$	${\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}}$, където: ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ е ъгълът между стени 1 и 2; ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площ на стените, противолежащи на върхове 1 и 2; ${\displaystyle A_{1,2}}$ — алгебрично допълнение на елемента ${\displaystyle a_{2,1}^{2}}$ на матрицата ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&a_{2,1}^{2}&a_{3,1}^{2}&a_{4,1}^{2}\\1&a_{2,1}^{2}&0&a_{3,2}^{2}&a_{4,2}^{2}\\1&a_{3,1}^{2}&a_{3,2}^{2}&0&a_{4,3}^{2}\\1&a_{4,1}^{2}&a_{4,2}^{2}&a_{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}}$ Аналогично ${\displaystyle \cos(\phi _{1,3})={\frac {A_{1,3}}{16S_{1}S_{3}}},}$ ${\displaystyle \cos(\phi _{1,4})={\frac {A_{1,4}}{16S_{1}S_{4}}},}$ ${\displaystyle \cos(\phi _{2,3})={\frac {A_{2,3}}{16S_{2}S_{3}}},}$ ${\displaystyle \cos(\phi _{2,4})={\frac {A_{2,4}}{16S_{2}S_{4}}},}$ ${\displaystyle \cos(\phi _{3,4})={\frac {A_{3,4}}{16S_{3}S_{4}}}}$, а допълненията ${\displaystyle A_{i,j}}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3,4)}$ се получават чрез циклична замяна на съответните индекси.
Синусова теорема
${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }},}$ където ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ са ъглите срещу съответните страни ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$	${\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}}$, където: ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ са площите на стените, противолежащи на върхове 1, 2, 3, 4; ${\displaystyle \Psi _{i}={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A_{i})&-\cos(B_{i})\\-\cos(A_{i})&1&-\cos(C_{i})\\-\cos(B_{i})&-\cos(C_{i})&1\\\end{vmatrix}}}}$; ${\displaystyle A_{i},B_{i},C_{i}}$ са двустенните ъгли при ${\displaystyle i}$-ия връх, ${\displaystyle (i=1,2,3,4)}$
Теорема за сумата от ъглите на триъгълника (съотношение между двустенните ъгли на тетраедъра)
${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$	${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0}$, където ${\displaystyle \phi _{i,j}}$ е ъгълът между стени ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3,4),}$
Разстояние между центровете на вписаната и описаната окръжности (сфери)
${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}$	${\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}a_{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}a_{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}a_{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}a_{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}a_{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}a_{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}},}$ където ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ е площ на стените, противолежащи на върховете 1, 2, 3, 4. Друг запис на израза: ${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,}$ където ${\displaystyle T}$ е разстоянието между центъра на описаната сфера и центъра на сферата, минаваща през три върха и инцентъра.