Уравнение на Шрьодингер – Уикипедия

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Серия статии на тема Квантова механика

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle }$  ${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ Основни понятия Вълнова функция ⋅ Квантово състояние ⋅ Квантово заплитане ⋅ Съотношение на неопределеност на Хайзенберг ⋅ Корпускулярно-вълнов дуализъм ⋅ Принцип на Паули ⋅ Принцип на съответствието ⋅ Константа на Планк ⋅ Квант ⋅ Тунелен преход ⋅ Квантова суперпозиция Теории Уравнение на Шрьодингер ⋅ Квантова електродинамика ⋅ Квантова теория на полето ⋅ Диаграми на Файнман Експерименти Котка на Шрьодингер ⋅ Парадокс на Айнщайн – Подолски – Розен ⋅ Квантова телепортация ⋅ Фотоелектричен ефект Статистики Статистика на Максуел-Болцман ⋅ Статистика на Ферми-Дирак ⋅ Статистика на Бозе-Айнщайн Физици Макс Планк · Луи дьо Бройл · Ервин Шрьодингер · Вернер Хайзенберг · Нилс Бор · Волфганг Паули · Макс Борн · Пол Дирак · Джон фон Нойман · Алберт Айнщайн · Дейвид Бом · Ричард Файнман · Хю Еверет · Юджин Уигнър

Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;=\;-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t)}$

или съкратено:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}(t)\psi \,,}$

където ${\displaystyle {\widehat {H}}(t)}$ е (евентуално) зависещия от времето ${\displaystyle t}$ оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът ${\displaystyle V}$ не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член ${\displaystyle \exp(-i{\frac {E}{\hbar }}t)}$ (където ${\displaystyle E}$ е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част ${\displaystyle \psi ({\vec {r}})}$, която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$

или

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+(E-V({\vec {r}}))\psi ({\vec {r}})=0}$

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

1. Пълната енергия E на една частица е

   ${\displaystyle E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V.}$

   Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$ и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.

2. Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:

   ${\displaystyle E=h\nu ={h \over 2\pi }(2\pi \nu )=\hbar \omega \;,}$

   където честотата ${\displaystyle \nu }$ на фотона е свързана с константата на Планк h,

   и ${\displaystyle \omega =2\pi \nu ;}$ е ъгловата честота на вълната.

3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоциирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:

   ${\displaystyle p={h \over \lambda }={h \over 2\pi }{2\pi \over \lambda }=\hbar k\;}$

   където ${\displaystyle \lambda \,}$ е дължината на вълната, а ${\displaystyle k=2\pi /\lambda \;}$ – нейното вълново число.

   Изразявайки p и k като вектори, имаме

   ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \;.}$

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

и да си да даде сметка, че доколкото

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi }$,

то

${\displaystyle E\Psi =\hbar \omega \Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }$

По подобен начин от

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi =ik_{x}\Psi }$

и

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi =-k_{x}^{2}\Psi }$

се стига до

${\displaystyle p_{x}^{2}\Psi =(\hbar k_{x})^{2}\Psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi }$

така че, отново за плоска вълна, той получава:

${\displaystyle p^{2}\Psi =(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})\Psi =-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\Psi =-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\Psi }$

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

• Котка на Шрьодингер

Тази статия, свързана с физика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.