Лъч през единичната хипербола x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} в точка ( cosh a , sinh a ) {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)} , където a {\displaystyle \scriptstyle a} е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста x {\displaystyle \scriptstyle x} . За точките на хиперболата под оста x {\displaystyle \scriptstyle x} , площта се счита за отрицателна. Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции , чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен . Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1} , докато за хиперболическите cosh 2 ( x ) − sinh 2 ( x ) = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1} , което е уравнение за хипербола , като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус . Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система . Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.
sinh , cosh и tanh csch , sech и coth (a) cosh(x ) е средно аритметичното на ex и e−x (b) sinh(x ) е половината разлика на ex и e−x Хиперболичните функции са:
sinh x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x = 1 − e − 2 x 2 e − x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}} . cosh x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e − 2 x 2 e − x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}} . tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x = {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=} = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 1 − e − 2 x 1 + e − 2 x {\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}} . Хиперболичен котангенс: x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} coth x = cosh x sinh x = e x + e − x e x − e − x = {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=} = e 2 x + 1 e 2 x − 1 = 1 + e − 2 x 1 − e − 2 x {\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}} sech x = 1 cosh x = 2 e x + e − x = {\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=} = 2 e x e 2 x + 1 = 2 e − x 1 + e − 2 x {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}} Хиперболичен косеканс: x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} csch x = 1 sinh x = 2 e x − e − x = {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=} = 2 e x e 2 x − 1 = 2 e − x 1 − e − 2 x {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}} Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:
sinh x = − i sin ( i x ) {\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)} cosh x = cos ( i x ) {\displaystyle \cosh x=\cos(ix)} tanh x = − i tan ( i x ) {\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)} coth x = i cot ( i x ) {\displaystyle \coth x=i\cot(ix)} sech x = sec ( i x ) {\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)} csch x = i csc ( i x ) {\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)} където i {\displaystyle i} е имагинерната единица със свойство i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} .
Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер .
Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x ) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:[ 1]
площ = ∫ a b cosh ( x ) d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh ( x ) ) 2 d x = дължина на дъгата {\displaystyle {\text{площ}}=\int _{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{дължина на дъгата}}} Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение f ′ = 1 − f 2 {\displaystyle f'=1-f^{2}} за f(0)=0 и нелинейната краева задача :[ 2]
1 2 f ″ = f 3 − f ; f ( 0 ) = f ′ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0} Нормативен контрол