Dieser Artikel beschreibt eine
spezielle Funktion . Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe
Airy-Formel .
Die Airy-Funktion Ai ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion Ai ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} und die verwandte Funktion Bi ( x ) {\displaystyle \operatorname {Bi} (x)} , die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung
y ″ − x y = 0 , {\displaystyle \ y''-xy=0\ ,} auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf .
Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung Ai ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} wurde von Harold Jeffreys eingeführt.
Für reelle Werte x {\displaystyle x} ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:
A i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ cos ( t 3 3 + x t ) d t . {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,{\rm {d}}t\ .} Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art B i {\displaystyle \mathrm {Bi} } :
B i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ ( exp ( − t 3 3 + x t ) + sin ( t 3 3 + x t ) ) d t . {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right)\,{\rm {d}}t\ .} Die komplexe Airy-Funktion ist
Ai ( z ) = 1 2 π i ∫ C exp ( t 3 3 − z t ) d t , {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,} mit Kontour C {\displaystyle C} von z 1 = ∞ {\displaystyle z_{1}=\infty } mit arg ( z 1 ) = − π / 3 {\displaystyle \operatorname {arg} (z_{1})=-\pi /3} nach z 2 = ∞ {\displaystyle z_{2}=\infty } mit arg ( z 2 ) = π / 3 {\displaystyle \operatorname {arg} (z_{2})=\pi /3} .
Für x {\displaystyle x} gegen + ∞ {\displaystyle +\infty } lassen sich A i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und B i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:
A i ( x ) ≃ e − 2 3 x 3 / 2 2 π x 1 / 4 B i ( x ) ≃ e 2 3 x 3 / 2 π x 1 / 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}} Für x {\displaystyle x} gegen − ∞ {\displaystyle -\infty } gelten die Beziehungen:
A i ( x ) ≃ sin ( 2 3 ( − x ) 3 / 2 + 1 4 π ) π ( − x ) 1 / 4 B i ( x ) ≃ cos ( 2 3 ( − x ) 3 / 2 + 1 4 π ) π ( − x ) 1 / 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {\sin({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {\cos({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}.\end{aligned}}} Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[ 1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } zu
Ai ( x ) = 0 ⇒ x ≈ − ( 3 2 π ( n − 1 4 ) ) 2 / 3 , n ∈ N {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {1}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} } Bi ( x ) = 0 ⇒ x ≈ − ( 3 2 π ( n − 3 4 ) ) 2 / 3 , n ∈ N {\displaystyle \operatorname {Bi} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {3}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} } Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für x = 0 {\displaystyle x=0} die folgenden Werte:
A i ( 0 ) = 1 9 3 ⋅ Γ ( 2 3 ) , A i ′ ( 0 ) = − 1 3 3 ⋅ Γ ( 1 3 ) , B i ( 0 ) = 1 3 6 ⋅ Γ ( 2 3 ) , B i ′ ( 0 ) = 3 6 Γ ( 1 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}} Hierbei bezeichnet Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} die Gammafunktion . Es folgt, dass die Wronski-Determinante von A i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und B i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} gleich 1 π {\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}} ist.
Direkt aus der Definition der Airy-Funktion Ai ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte .
F ( Ai ) ( k ) := ∫ − ∞ ∞ Ai ( x ) e − 2 π i k x d x = e i 3 ( 2 π k ) 3 . {\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}\,dx=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}\,.} Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.
A i ( z ) = 1 3 2 / 3 ⋅ Γ ( 2 3 ) ⋅ 0 F 1 ( 0 ; 2 3 ; 1 9 z 3 ) − z 3 1 / 3 ⋅ Γ ( 1 3 ) ⋅ 0 F 1 ( 0 ; 4 3 ; 1 9 z 3 ) {\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)-{\frac {z}{3^{1/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)} B i ( z ) = 1 3 1 / 6 ⋅ Γ ( 2 3 ) ⋅ 0 F 1 ( 0 ; 2 3 ; 1 9 z 3 ) + 3 1 / 6 ⋅ z Γ ( 1 3 ) ⋅ 0 F 1 ( 0 ; 4 3 ; 1 9 z 3 ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)+{\frac {3^{1/6}\cdot z}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)} A i ( x ) = 1 3 x [ I − 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) − I 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) ] {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]} B i ( x ) = x 3 [ I − 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) + I 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) ] {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]} Eine andere unendliche Integraldarstellung für A i {\displaystyle \mathrm {Ai} } lautet A i ( z ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ exp ( i ⋅ ( z t + t 3 3 ) ) d t {\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} \cdot \left(zt+{\frac {t^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} t} Es gibt die Reihendarstellungen[ 2] A i ( z ) = 1 3 2 / 3 π ∑ n = 0 ∞ Γ ( 1 3 ( n + 1 ) ) n ! ( 3 1 / 3 z ) n sin ( 2 ( n + 1 ) π 3 ) {\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)} B i ( z ) = 1 3 1 / 6 π ∑ n = 0 ∞ Γ ( 1 3 ( n + 1 ) ) n ! ( 3 1 / 3 z ) n | sin ( 2 ( n + 1 ) π 3 ) | {\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\left|\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)\right|} A i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und B i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} sind ganze Funktionen . Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.
ℜ [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} ℑ [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} | A i ( x + i y ) | {\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,} a r g [ A i ( x + i y ) ] {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}
ℜ [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} ℑ [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} | B i ( x + i y ) | {\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,} a r g [ B i ( x + i y ) ] {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}
Definiere
T n ( t , α ) = t n 2 F 1 ( − n 2 , 1 − n 2 ; 1 − n ; − 4 α t 2 ) {\displaystyle T_{n}(t,\alpha )=t^{n}{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {n}{2}},{\frac {1-n}{2}};1-n;-{\frac {4\alpha }{t^{2}}}\right)} wobei 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals
Ci n ( α ) = ∫ 0 ∞ cos ( T n ( t , α ) ) d t {\displaystyle \operatorname {Ci} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\cos(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t} Si n ( α ) = ∫ 0 ∞ sin ( T n ( t , α ) ) d t {\displaystyle \operatorname {Si} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\sin(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t} Ei n ( α ) = ∫ 0 ∞ exp ( − T n ( t , α ) ) d t {\displaystyle \operatorname {Ei} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\exp(-T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t} Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[ 3]
Z ( n ) = ∑ r 1 r n , {\displaystyle Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},} wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von A i {\displaystyle \mathrm {Ai} } geht.
Funktionsgraphen von G i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Gi} (x)} und H i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Hi} (x)} . Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen G i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Gi} (x)} und H i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Hi} (x)} zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten[ 4]
G i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ sin ( t 3 3 + x t ) d t {\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t} H i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ exp ( − t 3 3 + x t ) d t {\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t} Sie lassen sich auch durch die Funktionen A i {\displaystyle \mathrm {Ai} } und B i {\displaystyle \mathrm {Bi} } darstellen.
↑ Eric W. Weisstein : Airy Function Zeros . In: MathWorld (englisch). ↑ C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva , Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000 ↑ Eric W. Weisstein : Airy Zeta Function . In: MathWorld (englisch). ↑ Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , 1954, Seite 447